Come si usa il test di confronto dei limiti per la somma 1 / (n + sqrt (n)) per n = 1 a n = oo?

Risposta:

#sum_ (n = 1) ^ oo1 / (n + sqrt (n)) # diverge, questo può essere visto confrontandolo con #sum_ (n = 1) ^ oo1 / (2n) #.

Spiegazione:

Poiché questa serie è una somma di numeri positivi, dobbiamo trovare una serie convergente #sum_ (n = 1) ^ (oo) a_n # così #a_n> = 1 / (n + sqrt (n)) # e concludere che la nostra serie è convergente, o abbiamo bisogno di trovare una serie divergente tale #a_n <= 1 / (n + sqrt (n)) # e concludiamo che anche la nostra serie è divergente.

Osserviamo quanto segue:

Per

# n> = 1 #, #sqrt (n) <= n #.

Perciò

# N + sqrt (n) <= 2n #.

Così

# 1 / (n + sqrt (n))> = 1 / (2n) #.

Dal momento che è noto che #sum_ (n = 1) ^ oo1 / n # diverge, così #sum_ (n = 1) ^ oo1 / (2n) # diverge anche, poiché se convergerebbe, allora # 2sum_ (n = 1) ^ oo1 / (2n) = sum_ (n = 1) ^ oo1 / n # convergerebbe anche, e questo non è il caso.

Ora usando il test comparativo, lo vediamo #sum_ (n = 1) ^ oo1 / (n + sqrt (n)) # diverge.

Il test di confronto dei limiti prende due serie, # # Suma_n e # # Sumb_n dove #a_n> = 0 #, # # B_ngt0.

Se #lim_ (nrarroo) a_n / b_n = L # dove #L> 0 # ed è finito, quindi entrambe le serie convergono o entrambe le serie divergono.

Dovremmo farlo # A_n = 1 / (n + sqrtn) #, la sequenza dalla serie data. Una buona # # B_n la scelta è la funzione opprimente che #un# approcci come # N # diventa grande Quindi, lascia # B_n = 1 / n #.

Nota che # # Sumb_n diverge (è la serie armonica).

Quindi, lo vediamo #lim_ (nrarroo) a_n / b_n = lim_ (nrarroo) (1 / (n + sqrtn)) / (1 / n) = lim_ (nrarroo) n / (n + sqrtn) #. Continuando dividendo attraverso # N / n #questo diventa #lim_ (nrarroo) 1 / (1 + 1 / sqrtn) = 1/1 = 1 #.

Poiché il limite è #1#, che è #>0# e definito, lo vediamo # # Suma_n e # # Sumb_n divergeranno o convergeranno entrambi. Dal momento che sappiamo già a # # Sumb_n diverge, possiamo concludere # Suma_n = sum_ (n = 1) ^ oo1 / (n + sqrtn) # diverge pure.

La media dei due punteggi dei test di Paula deve essere di 80 o più per ottenere almeno una B nella classe. Ha ottenuto un 72 al suo primo test. Quali voti può ottenere nel secondo test per fare almeno una B in classe?

88 Userò la formula media per trovare la risposta a questo. "average" = ("sum of grades") / ("numero di voti") Ha avuto un test con un punteggio di 72 e un test con un punteggio sconosciuto x, e sappiamo che la sua media deve essere almeno 80 , quindi questa è la formula risultante: 80 = (72 + x) / (2) Moltiplicare entrambi i lati per 2 e risolvere: 80 xx 2 = (72 + x) / cancel2 xx cancel2 160 = 72 + x 88 = x Quindi il il voto che può fare al secondo test per ottenere almeno una "B" dovrebbe essere dell'88%.

Kelly ha 4 volte più soldi di Joey. Dopo che Kelly usa dei soldi per comprare una racchetta, e Joey usa $ 30 per comprare dei corti, Kelly ha il doppio dei soldi di Joey. Se Joey ha iniziato con $ 98, quanti soldi ha Kelly? Quanto costa la racchetta?

Kelley ha $ 136 e la racchetta costa $ 256 Poiché Joey ha iniziato con $ 98 e Kelly aveva 4 volte più soldi di Joey, Kelly ha iniziato con 98xx4 = $ 392. Supponi che la racchetta costa $ x, quindi Kelly rimarrà $ 392 - $ x = $ ( 392-x). Dato che Joey ha speso $ 30 per comprare pantaloncini, è stato lasciato con $ 98- $ 30 = $ 68. Ora Kelley ha $ (392-x) e Joey ne ha 68, dato che Kelly ha il doppio dei soldi di Joey, abbiamo 392-x = 2xx68 o 392-x = 136 o 392-x + x = 136 + x o 136 + x = 392 o x = 392-136 = 256 Quindi Kelley ha $ 136 e la racchetta costa $ 256

Conoscendo la formula alla somma degli N interi a) qual è la somma dei primi N interi consecutivi quadrati, Sigma_ (k = 1) ^ N k ^ 2 = 1 ^ 2 + 2 ^ 2 + cdots + (N-1 ) ^ 2 + N ^ 2? b) Somma dei primi N interi cubici consecutivi Sigma_ (k = 1) ^ N k ^ 3?

Per S_k (n) = sum_ {i = 0} ^ ni ^ k S_1 (n) = (n (n + 1)) / 2 S_2 (n) = 1/6 n (1 + n) (1 + 2 n ) S_3 (n) = ((n + 1) ^ 4- (n + 1) -6S_2 (n) -4S_1 (n)) / 4 Abbiamo sum_ {i = 0} ^ ni ^ 3 = sum_ {i = 0} ^ n (i + 1) ^ 3 - (n + 1) ^ 3 sum_ {i = 0} ^ ni ^ 3 = sum_ {i = 0} ^ ni ^ 3 + 3sum_ {i = 0} ^ ni ^ 2 + 3sum_ {i = 0} ^ ni + sum_ {i = 0} ^ n 1- (n + 1) ^ 3 0 = 3sum_ {i = 0} ^ ni ^ 2 + 3sum_ {i = 0} ^ ni + sum_ {i = 0} ^ n 1- (n + 1) ^ 3 solving per sum_ {i = 0} ^ ni ^ 2 sum_ {i = 0} ^ ni ^ 2 = (n + 1) ^ 3 / 3- (n + 1) / 3-sum_ {i = 0} ^ ni ma sum_ {i = 0} ^ ni = ((n + 1) n) / 2 so sum_ {i = 0} ^ ni ^ 2 = (n +1) ^ 3 / 3- (n + 1