Qual è l'inverso di y = log_4 (x-3) + 2x? ?

Risposta:

#x = 1/2 (6 + W (2 ^ 2y-11)) #

Spiegazione:

Possiamo risolvere questo problema usando la cosiddetta funzione Lambert #W (cdot) #

en.wikipedia.org/wiki/Lambert_W_function

#y = lnabs (x-3) / ln4 + 2x rArr y ln4 = lnabs (x-3) + 2x ln4 #

Ora facendo #z = x-3 #

# e ^ (y ln4) = z e ^ (2 (z + 3) ln4) = ze ^ (2z) e ^ (6 ln4) # o

#e ^ ((y-6) ln4) = z e ^ (2z) # o

# 2 e ^ ((y-6) ln4) = 2z e ^ (2z) #

Ora usando l'equivalenza

#Y = X e ^ X rArr X = W (Y) #

# 2z = W (2 e ^ ((y-6) ln4)) rArr z = 1/2 W (2 e ^ ((y-6) ln4)) #

e infine

#x = 1/2 W (2 e ^ ((y-6) ln4)) + 3 # che può essere semplificato a

#x = 1/2 (6 + W (2 ^ (2y-11))) #