Quali sono gli estremi assoluti di f (x) = x ^ (1/3) * (20-x) in [0,20]?

Risposta:

Il minimo assoluto è #0#, che si verifica a #x = 0 # e # X = 20 #.

Il massimo assoluto è # 15root (3) 5 #, che si verifica a #x = 5 #.

Spiegazione:

I possibili punti che potrebbero essere estremi assoluti sono:

Punti di svolta; Vale a dire dove # dy / dx = 0 #

I punti finali dell'intervallo

Abbiamo già i nostri endpoint (#0# e #20#), quindi cerchiamo i nostri punti di svolta:

#f '(x) = 0 #

# d / dx (x ^ (1/3) (20-x)) = 0 #

# 1 / 3x ^ (- 2/3) (20-x) - x ^ (1/3) = 0 #

# (20-x) / (3x ^ (2/3)) = x ^ (1/3) #

# (20-x) / (3x) = 1 #

# 20-x = 3x #

# 20 = 4x #

# 5 = x #

Quindi c'è un punto di svolta in cui #x = 5 #. Ciò significa che i 3 possibili punti che potrebbero essere estremi sono:

#x = 0 "" "" x = 5 "" "" x = 20 #

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Inseriamo questi valori in #f (x) #:

#f (0) = (0) ^ (1/3) (20 - 0) = 0 * 20 = colore (rosso) 0 #

#f (5) = (5) ^ (1/3) (20 - 5) = radice (3) (5) * 15 = colore (rosso) (15root (3) 5 #

#f (20) = (20) ^ (1/3) (20-20) = radice (3) (20) * 0 = colore (rosso) 0 #

Pertanto, nell'intervallo #x in 0, 20 #:

Il minimo assoluto è #color (rosso) 0 #, che si verifica a #x = 0 # e # X = 20 #.

Il massimo assoluto è #color (rosso) (15root (3) 5) #, che si verifica a #x = 5 #.

Risposta finale