Come dimostrare che la serie è convergente?

Risposta:

Converge tramite il test di confronto diretto.

Spiegazione:

Possiamo usare il test di confronto diretto, per quanto ne abbiamo

#sum_ (n = 1) ^ oocos (1 / k) / (9k ^ 2) #, IE, la serie inizia da uno.

Per utilizzare il test di confronto diretto, dobbiamo provarlo # A_k = cos (1 / k) / (9k ^ 2) # è positivo # 1, oo) #.

Innanzitutto, nota che nell'intervallo # 1, oo), cos (1 / k) # è positivo Per i valori di #X # # Cosx è nel primo quadrante (e quindi positivo). Bene, per #k> = 1, 1 / k così, #cos (1 / k) # è davvero positivo.

Inoltre, possiamo dire #cos (1 / k) <= 1 #, come #lim_ (K-> oo) cos (1 / k) = cos (0) = 1 #.

Quindi, possiamo definire una nuova sequenza

# B_k = 1 / (9k ^ 2)> = a_k # per tutti #K.#

Bene, #sum_ (k = 1) ^ oo1 / (9k ^ 2) = 1 / 9sum_ (k = 1) ^ oo1 / k ^ 2 #

Sappiamo che questo converge dal # # P-test di serie, è nella forma # Sum1 / k ^ p # dove # P = 2> 1 #.

Quindi, dal momento che la serie più grande converge, così deve essere la serie più piccola.

Risposta:

Converge con il test di confronto diretto (vedi sotto per i dettagli).

Spiegazione:

Riconoscere che l'intervallo di coseno è -1,1. Guarda il grafico di #cos (1 / x) #:

graph {cos (1 / x) -10, 10, -5, 5}

Come puoi vedere, il massimo il valore che otterremo sarà 1. Poiché stiamo solo provando a dimostrare la convergenza, impostiamo il numeratore su 1, lasciando:

# Sum1 / (9k ^ 2) #

Ora, questo diventa un problema di test di confronto diretto molto semplice. Ricorda cosa fa il test di confronto diretto:

Considera una serie arbitraria #un# (non sappiamo se converge / diverge), e una serie per la quale conosciamo la convergenza / divergenza, # # B_n:

Se #b_n> a_n # e # # B_n converge, quindi #un# converge anche.

Se #b_n <a_n # e # # B_n diverge, quindi #un# anche diverge.

Possiamo confrontare questa funzione con #b_n = 1 / k ^ 2 #. Possiamo farlo perché sappiamo che converge (a causa del p-test).

Quindi, da allora # 1 / k ^ 2> 1 / (9k ^ 2) #, e # 1 / k ^ 2 # converge, possiamo dire che il la serie converge

Ma, aspetta, abbiamo solo dimostrato che questa serie converge quando il numeratore = 1. Che dire di tutti gli altri valori #cos (1 / k) # potrebbe prendere? Bene, ricorda che 1 è il massimo valore che il numeratore potrebbe assumere. Quindi, poiché abbiamo dimostrato che questo converge, abbiamo indirettamente dimostrato che questa serie è stata convertita per qualsiasi valore nel numeratore.

Spero che questo abbia aiutato:)