Quali sono gli errori più comuni che gli studenti fanno con le ellissi in forma standard?

La forma standard per un'ellisse (come la insegno) assomiglia a: # (X-h) ^ 2 / a ^ 2 + (y-k) ^ 2 / b ^ 2 = 1 #.

(h, k) è il centro.

la distanza "a" = fino a destra / sinistra per spostarsi dal centro per trovare gli endpoint orizzontali.

la distanza "b" = quanto lontano su / giù per spostarsi dal centro per trovare gli endpoint verticali.

Penso che spesso gli studenti lo pensino erroneamente # A ^ 2 # è quanto lontano spostarsi dal centro per localizzare i punti finali. A volte, questa sarebbe una distanza molto grande da percorrere!

Inoltre, penso che a volte gli studenti si spostino erroneamente su / giù invece che a destra / sinistra quando applicano queste formule ai loro problemi.

Ecco un esempio di cui parlare:

# (X-1) ^ 2/4 + (y + 4) ^ 2/9 = 1 #

Il centro è (1, -4). Dovresti spostare a destra e a sinistra "a" = 2 unità per ottenere gli endpoint orizzontali a (3, -4) e (-1, -4). (vedi immagine)

Dovresti muoverti su e giù "b" = 3 unità per ottenere gli endpoint verticali a (1, -1) e (1, -7). (vedi immagine)

Poiché a <b, l'asse maggiore sarà nella direzione verticale.

Se a> b, l'asse maggiore andrà in direzione orizzontale!

Se hai bisogno di trovare altre informazioni sulle ellissi, fai un'altra domanda!

(Confusione se #un# e # B # rappresentano i raggi maggiore / minore, o il #X#- & # Y #-radii)

Ricorda che il modulo standard per un'ellisse centrato all'origine è

# x ^ 2 / (a ^ 2) + y ^ 2 / b ^ 2 = 1 #

Già, tuttavia, alcuni saranno in discussione con la formula sopra elencata. Alcune scuole di pensiero lo sostengono #un# dovrebbe sempre essere più grande di # B # e quindi rappresentano la lunghezza del raggio maggiore (anche se il raggio maggiore si trova nella direzione verticale, consentendo così # Y ^ 2 / a ^ 2 # in tal caso), mentre altri ritengono che dovrebbe sempre rappresentare il #X#-radius (anche se il #X#-radius è il raggio minore).

Lo stesso vale per # B #, anche se al contrario. (alcuni credono che # B # dovrebbe sempre essere il raggio minore, e altri credono che dovrebbe sempre essere il # Y #-raggio).

Assicurati di sapere quale metodo preferisce il tuo istruttore (o il programma che stai utilizzando). Se non esiste una preferenza forte, allora decidi semplicemente per te stesso, ma essere coerente con la tua decisione. Cambiare la tua mente a metà del compito renderà le cose poco chiare e cambierà idea a metà strada attraverso un singolo problema porterà solo agli errori.

(Confusione raggio / asse)

La maggior parte degli errori nelle ellissi sembra derivare da questa confusione su quale raggio sia maggiore e quale sia minore. Altri possibili errori possono sorgere se si confonde il raggio maggiore con l'asse maggiore (o il raggio minore con l'asse minore). L'asse maggiore (o minore) è uguale al doppio del raggio maggiore (o minore), in quanto è essenzialmente il diametro maggiore (o minore). A seconda del passo in cui si verifica questa confusione, questo può portare a gravi errori di scala per l'ellisse.

(Confusione raggio / raggio al quadrato)

Un errore simile si verifica quando gli studenti dimenticano che i denominatori (# a ^ 2, b ^ 2 #) sono i quadrati dei raggi e non i raggi stessi. Non è raro vedere uno studente con un problema come # x ^ 2/9 + y ^ 2/4 = 1 # disegna un'ellisse con #X#-radius 9 e # Y #-radio 4. Inoltre, ciò può verificarsi in concomitanza con l'errore di cui sopra (confondendo il raggio per il diametro), portando a risultati come uno studente con l'equazione di cui sopra disegnando un'ellisse con diametro maggiore 9 (e quindi raggio maggiore 4,5), invece del diametro maggiore 6 corretto (e raggio maggiore 3).

(Confusione tra Hyperbola ed Ellipse) ATTENZIONE: la risposta è abbastanza lunga

Un altro errore relativamente comune si verifica se si ricorda erroneamente la formula dell'ellisse. Nello specifico, il più comune di questi errori sembra verificarsi quando si confonde la formula per le ellissi con quella per l'iperbole (che, ricorda, è # x ^ 2 / a ^ 2 -y ^ 2 / b ^ 2 = 1 # o # y ^ 2 / b ^ 2 - x ^ 2 / a ^ 2 = 1 # per quelli centrati all'origine, ancora soggetti alle convenzioni di etichettatura dell'asse sopra elencate). Per questo, aiuta a ricordare la definizione di ellissi e iperboli come sezioni coniche.

In particolare, ricorda che un'ellisse è il luogo dei punti relativi a due fuochi # f_1 & f_2 # situato lungo l'asse maggiore tale che, per un punto arbitrario # P # sul luogo, la distanza da # P # a # # F_1 (etichettato # # D_1) più la distanza da # P # a # # F_2 (etichettato # # D_2) è uguale al doppio del raggio maggiore (cioè, se #un# è il raggio maggiore, # d_1 + d_2 = 2a #). Inoltre, la distanza dal centro a uno di questi fuochi (a volte chiamato separazione semifocale o eccentricità lineare), assumendo #un# è il raggio maggiore, è uguale a #sqrt (a ^ 2-b ^ 2) #.

Al contrario, un'iperbole è il luogo dei punti relativi a due fuochi in modo tale che, per un punto # P # sul locus, il valore assoluto del differenza tra la distanza del punto dal primo fuoco e la distanza del punto dal secondo fuoco è uguale al doppio del raggio maggiore (cioè con #un# raggio maggiore, # | d_1 - d_2 | = 2a #). Inoltre, la distanza dal centro dell'iperbole a uno di questi due fuochi (di nuovo, a volte chiamato l'eccentricità lineare, e ancora assumendo #un# raggio maggiore) è uguale a #sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) #.

In relazione alla definizione di sezioni coniche, il generale eccentricità # E # di una sezione determina se si tratta di un cerchio (# E = 0 #), ellisse (# 0 <e <1 #), parabola (# E = 1 #), o iperbole (#e> 1 #). Per le ellissi e le iperboliche, l'eccentricità può essere calcolata come il rapporto tra l'eccentricità lineare e la lunghezza del raggio maggiore; quindi, per un'ellisse lo sarà #e = sqrt (a ^ 2-b ^ 2) / a = sqrt (1 - b ^ 2 / a ^ 2) # (e quindi necessariamente meno di 1), e per un'iperbole lo sarà #e = sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) / a = sqrt (1 + b ^ 2 / a ^ 2) # (e quindi necessariamente maggiore di 1).