Quando so quando usare "completando il quadrato"?

Risposta:

Dipende da quali informazioni stai cercando di ottenere e quanto semplice sia il problema quadratico che stai affrontando …

Spiegazione:

Se stai cercando di trovare il vertice di una parabola descritto da un'equazione quadratica, completare il quadrato è il modo più naturale per farlo.

Se stai cercando di trovare le radici di un'equazione quadratica, allora il completamento del quadrato funzionerà sempre, nel senso che non richiede che i fattori siano razionali e nel senso che ti daranno le radici complesse se il le radici del quadratico non sono reali.

D'altra parte, ci possono essere dei fattori chiari ovvi o facili da trovare che sono un po 'più veloci.

Ad esempio, supponi di voler calcolare il quadratico:

#f (x) = 37x ^ 2-13x-24 #

Sembra un po 'noioso da fare, ma notiamo che la somma dei coefficienti (#37-13-24#) è #0#. Ciò significa che #f (1) = 0 # e # (X-1) # è un fattore di #f (x) #. È quindi facile trovare l'altro fattore:

# 37x ^ 2-13x-24 = (x-1) (37x + 24) #

Se un quadratico è ovviamente della forma # A ^ 2 + 2ab + b ^ 2 # allora so che è già quadrata, essendo uguale a # (A + b) ^ 2 #. Per esempio:

# 9x ^ 2-24x + 16 = (3x-4) ^ 2 # con # A = 3x # e # B = -4 #.

In generale è possibile completare il quadrato come segue:

# ax ^ 2 + bx + c = a (x + b / (2a)) ^ 2 + (c - b ^ 2 / (4a)) #

Di solito prima controllo #Delta = b ^ 2-4ac # per vedere se mi trovo di fronte a una quadratica che tratterà bene o che devo usare metodi più pesanti.