Viene mostrato il grafico di h (x). Il grafico sembra essere continuo a, dove cambia la definizione. Dimostrare che h è di fatto continuo trovando i limiti sinistro e destro e mostrando che la definizione di continuità è soddisfatta?

Risposta:

Si prega di fare riferimento al Spiegazione.

Spiegazione:

Per dimostrarlo # H # è continuo, dobbiamo controllarlo

continuità a # X = 3 #.

Lo sappiamo, # H # sarà cont. a # X = 3 #, se e solo se, #lim_ (x a 3) h (x) = h (3) = lim_ (x a 3+) h (x) ………………… ………. (AST) #.

Come #x a 3-, x lt 3:. h (x) = - x ^ 2 + 4x + 1 #.

#:. lim_ (x a 3) h (x) = lim_ (x a 3 -) - x ^ 2 + 4x + 1 = - (3) ^ 2 + 4 (3) + 1 #, # rArr lim_ (x a 3-) h (x) = 4 …………………………….. ………………. (AST ^ 1) #.

Allo stesso modo, #lim_ (x a 3+) h (x) = lim_ (x a 3+) 4 (0.6) ^ (x-3) = 4 (0.6) ^ 0 #.

# rArr lim_ (x a 3+) h (x) = 4 …………………………….. …………….. (AST ^ 2) #.

Finalmente, #h (3) = 4 (0.6) ^ (3-3) = 4 ………………………….. …… (AST ^ 3) #.

# (ast), (ast ^ 1), (ast ^ 2) e (ast ^ 3) rArr h "è cont. at" x = 3 #.

Risposta:

Vedi sotto:

Spiegazione:

Affinché una funzione sia continua in un punto (chiamarla 'c'), è necessario che sia vero:

• #f (c) # deve esistere.

• #lim_ (X-> c) f (x) # deve esistere

Il primo è definito come vero, ma dovremo verificare quest'ultimo. Come? Bene, ricorda che per un limite esiste, i limiti della mano destra e sinistra devono essere uguali. Matematicamente:

#lim_ (x-> c ^ -) f (x) = lim_ (x-> c ^ +) f (x) #

Questo è ciò che dovremo verificare:

#lim_ (x-> 3 ^ -) f (x) = lim_ (x-> 3 ^ +) f (x) #

Alla sinistra di #x = 3 #, possiamo vederlo #f (x) = -x ^ 2 + 4x + 1 #. Inoltre, a destra di (e a) #x = 3 #, #f (x) = 4 (0,6 ^ (x-3)) #. Usando questo:

#lim_ (x-> 3) -x ^ 2 + 4x + 1 = lim_ (x-> 3) 4 (0,6 ^ (x-3)) #

Ora valutiamo questi limiti e controlliamo se sono uguali:

#-(3^2) + 4(3) + 1 = 4(0.6^(3-3))#

#=> -9 + 12 + 1 = 4(0.6^0)#

#=> 4 = 4#

Quindi, lo abbiamo verificato #f (x) # è continuo a #x = 3 #.

Spero che questo abbia aiutato:)