Se lanci un solo dado, qual è il numero previsto di tiri necessari per tirare ogni numero una volta?

Risposta:

# 14.7 "rotoli" #

Spiegazione:

#P "tutti i numeri lanciati" = 1 - P "1,2,3,4,5, o 6 non lanciati" #

#P "A o B o C o D o E o F" = P A + P B + … + P F - #

#P A e B - P A e C …. + P A e B e C + … #

# "Ecco qui" #

# P_1 = 6 * (5/6) ^ n - 15 * (4/6) ^ n + 20 * (3/6) ^ n - 15 * (2/6) ^ n + 6 * (1/6) ^ n #

#P = P_1 (n) - P_1 (n-1) #

# = 6 * (5/6) ^ (n-1) (5/6 - 1) - 15 * (4/6) ^ (n-1) (4 / 6-1) + … #

# = - (5/6) ^ (n-1) + 5 * (4/6) ^ (n-1) -10 * (3/6) ^ (n-1) + 10 * (2/6) ^ (n-1) * -5 (1/6) ^ (n-1) #

# "Il negativo di questo è la nostra probabilità." #

#sum n * a ^ (n-1) = sum (d / {da}) (a ^ n) #

# = (d / {da}) somma a ^ n = (d / {da}) (1 / (1-a)) = 1 / (1-a) ^ 2 #

# => E n = somma n * P "tutti i numeri lanciati dopo n lanci" #

# = somma n * ((5/6) ^ (n-1) - 5 * (4/6) ^ (n-1) + … #

#= 1/(1-5/6)^2 - 5/(1-4/6)^2+10/(1-3/6)^2-10/(1-2/6)^2+5/(1-1/6)^2#

#= 36 - 45 + 40 - 22.5 + 7.2#

#= 15.7#

# "Dobbiamo sottrarre uno a causa della condizione di inizio P_1 (0)" #

# "restituisce un valore errato P = 1 per n = 1." #

# => P = 15,7 - 1 = 14,7 #

Risposta:

#6/6+6/5+6/4+6/3+6/2+6/1 = 14.7#

Spiegazione:

Pensa a sei mini-giochi. Per ogni partita, tiriamo il dado fino a quando non tiriamo un numero che non è stato ancora tirato: ciò che chiameremo "vittoria". Quindi iniziamo la prossima partita.

Permettere #X# essere il numero di lanci necessari per tirare ogni numero almeno una volta (cioè vincere tutti e 6 i minigiochi), e lasciare # # X_i essere il numero di lanci necessari per "vincere" il numero del mini-gioco #io# (per #io# da 1 a 6). Quindi ciascuno # # X_i è una variabile casuale geometrica con distribuzione # "Geo" (p_i) #.

Il valore atteso di ciascuna variabile casuale geometrica è # 1 / p_i #.

Per il primo gioco, # p_1 = 6/6 # poiché tutti e 6 i risultati sono "nuovi". Così, # "E" (X_1) = 6/6 = 1 #.

Per il secondo gioco, 5 dei 6 risultati sono nuovi, quindi # P_2 = 5/6 #. Così, # "E" (X_2) = 6/5 = 1,2 #.

Per il terzo gioco, 4 dei 6 possibili lanci sono nuovi, quindi # P_3 = 4/6 #, senso # "E" (X_3) = 6/4 = 1,5 #.

A questo punto, possiamo vedere uno schema. Dal momento che il numero di tiri "vincenti" diminuisce di 1 per ogni nuovo gioco, la probabilità di "vincere" ogni partita diminuisce #6/6# a #5/6#, poi #4/6#ecc., il che significa che il numero previsto di tiri per partita va da #6/6# a #6/5#, a #6/4#, e così via, fino all'ultima partita, in cui ci aspettiamo che occorra 6 tiri per ottenere l'ultimo numero.

Così:

# "E" (X) = "E" (X_1 + X_2 + X_3 + X_4 + X_5 + X_6) #

#color (bianco) ("E" (X)) = "E" (X_1) + "E" (X_2) + … + "E" (X_5) + "E" (X_6) #

#colore (bianco) ("E" (X)) = 6/6 + 6/5 + 6/4 + 6/3 + 6/2 + 6/1 #

#color (bianco) ("E" (X)) = 1 + 1.2 + 1.5 + 2 + 3 + 6 #

#colore (bianco) ("E" (X)) = 14.7 #