Qual è l'ortocentro di un triangolo con angoli in (9, 5), (3, 8) e (5, 6)?

Risposta:

Passi: (1) trova le pendenze di 2 lati, (2) trova le pendenze delle linee perpendicolari a quei lati, (3) trova le equazioni delle linee con quelle pendenze che passano attraverso i vertici opposti, (4) trova il punto in cui si intersecano quelle linee, che è l'ortocentro, in questo caso #(6.67, 2.67)#.

Spiegazione:

Per trovare l'ortocentro di un triangolo troviamo le pendenze (gradienti) di due dei suoi lati, quindi le equazioni delle linee perpendicolari a quei lati.

Possiamo usare quei pendii più le coordinate del punto opposto al lato pertinente per trovare le equazioni delle linee perpendicolari ai lati che passano attraverso l'angolo opposto: queste sono chiamate "altitudini" per i lati.

Dove le altitudini per due dei lati si incrociano è l'ortocentro (anche l'altitudine per il terzo lato passerebbe attraverso questo punto).

Contrassegniamo i nostri punti per rendere più facile il riferimento a loro:

Punto A = #(9, 5)#

Punto B = #(3, 8)#

Punto C = #(5, 6)#

Per trovare la pendenza, usa la formula:

#m = (y_2-y_1) / (x_2-x_1) #

#m_ (AB) = (8-5) / (9-3) = 3/6 = 1/2 #

#m_ (BC) = (6-8) / (5-3) = (- 2) / 2 = -1 #

Non vogliamo queste pendenze, però, ma le pendenze delle linee perpendicolari (ad angolo retto) a loro. La linea perpendicolare a una linea con pendenza # M # ha pendenza # -1 / m #, quindi la linea perpendicolare a # # AB ha pendenza #-2# e la linea perpendicolare a #AVANTI CRISTO# ha pendenza #1#.

Ora possiamo trovare le equazioni delle altitudini del Punto C (opposto AB) e del Punto A (opposto BC) rispettivamente sostituendo le coordinate di quei punti nell'equazione

# Y = mx + c #

Per il punto C, l'altitudine è:

# 6 = -2 (5) + c # che dà # C = 6 + 10 = 16 # perciò #y = -2x + 16 #

Allo stesso modo, per il punto A:

# 5 = 1 (9) + C # che dà # c = 5-9 = -4 # quindi l'equazione è:

# y = x-4 #

Per trovare l'ortocentro, abbiamo semplicemente bisogno di trovare il punto in cui queste due linee si incrociano. Li possiamo equiparare tra loro:

# -2x + 16 = x-4 #

riordinando, # 3x = da 20 a x ~~ 6,67 #

Sostituire in entrambe le equazioni per trovare il # Y # valore, che è #2.67#.

Quindi l'ortocentro è il punto #(6.67, 2.67)#.