Qual è il limite quando t si avvicina a 0 di (tan6t) / (sin2t)?

#lim_ (t-> 0) tan (6t) / sin (2t) = 3 #. Lo determiniamo utilizzando la regola dell'ospedale.

Per parafrasare, il regolamento di L'Hospital afferma che quando viene fornito un limite di forma #lim_ (t a) f (t) / g (t) #, dove #fa)# e #G (a) # sono valori che fanno sì che il limite sia indeterminato (il più delle volte, se entrambi sono 0, o qualche forma di), quindi finché entrambe le funzioni sono continue e differenziabili ae nelle vicinanze di #un,# uno può affermarlo

#lim_ (t a) f (t) / g (t) = lim_ (t a) (f '(t)) / (g' (t)) #

O a parole, il limite del quoziente di due funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

Nell'esempio fornito, abbiamo #f (t) = tan (6t) # e #G (t) = sin (2t) #. Queste funzioni sono continue e differenziabili vicino # t = 0, tan (0) = 0 e sin (0) = 0 #. Quindi, la nostra iniziale #f (a) / g (a) = 0/0 =?. #

Pertanto, dovremmo fare uso della regola di L'Hospital. # d / dt tan (6t) = 6 sec ^ 2 (6t), d / dt sin (2t) = 2 cos (2t) #. Così …

#lim_ (t-> 0) tan (6t) / sin (2t) = lim_ (t-> 0) (6 sec ^ 2 (6t)) / (2 cos (2t)) = (6 sec ^ 2 (0)) / (2 cos (0)) = 6 / (2 * cos ^ 2 (0) * cos (0)) = 6 / (2 * 1 * 1) = 6/2 = 3 #

Risposta:

Il Reqd. Lim.#=3#.

Spiegazione:

Lo troveremo Limite usando il seguente Risultati standard:

#lim_ (thetararr0) sintheta / theta = 1, lim_ (thetararr0) tantheta / theta = 1 #

Osserva che #tan (6t) / sin (2t) = frac (tan (6t) / (6t)) (sin (2t) / (2t)) ##frac (6t) (2t) = 3frac (tan (6t) / (6t)) (sin (2t) / (2t)) #

Qui, # trarr0rArr (6t) rarr0rArr lim_ (trarr0) tan (6t) / (6t) = 1 #

Allo stesso modo, #lim_ (trarr0) sin (2t) / (2t) = 1 #

Pertanto, il Reqd. Lim.#=3{1/1}=3#.