L'acqua esce da una vasca conica rovesciata ad una velocità di 10.000 cm3 / min, allo stesso tempo l'acqua viene pompata nel serbatoio ad una velocità costante Se il serbatoio ha un'altezza di 6 metri e il diametro nella parte superiore è 4 metri e se il livello dell'acqua aumenta di 20 cm / min quando l'altezza dell'acqua è di 2 metri, come si trova la velocità con cui viene pompata l'acqua nel serbatoio?

Permettere # # V essere il volume di acqua nel serbatoio, in # Cm ^ 3 #; permettere # H # essere la profondità / altezza dell'acqua, in cm; e lascia # R # sii il raggio della superficie dell'acqua (in alto), in cm. Poiché il serbatoio è un cono invertito, lo è anche la massa d'acqua. Poiché il serbatoio ha un'altezza di 6 me un raggio nella parte superiore di 2 m, triangoli simili implicano questo # Frac {h} {r} = frac {6} {2} = 3 # così che # H = 3R #.

Il volume del cono d'acqua invertito è quindi # V = frac {1} {3} pi r ^ {2} h = pi r ^ {3} #.

Ora differenziare entrambe le parti rispetto al tempo # T # (in minuti) per ottenere # frac {dV} {dt} = 3 pi r ^ {2} cdot frac {dr} {dt} # (in questo passaggio viene utilizzata la regola della catena).

Se #V_ {i} # è il volume di acqua che è stato pompato, quindi # frac {dV} {dt} = frac {dV_ {i}} {dt} -10000 = 3 pi cdot (frac {200} {3}) ^ {2} cdot 20 # (quando l'altezza / profondità dell'acqua è di 2 metri, il raggio dell'acqua è # Frac {200} {3} # centimetro).

Perciò # frac {dV_ {i}} {dt} = frac {800000 pi} {3} +10000 circa 847758 frac { mbox {cm} ^ 3} {min} #.