Se una pietra viene fatta cadere ad un'altitudine di 174.9 m da un elicottero che sale con una velocità di 20.68 m / s, quanto impiega la pietra per raggiungere il suolo?

Risposta:

8,45 secondi.

Spiegazione:

La direzione di 'g' quando si parla di accelerazione dipende dal sistema di coordinate che definiamo. Ad esempio se dovessi definire verso il basso la "y" positiva, allora g sarebbe positivo. La convenzione deve prendere il positivo come positivo in modo che g sia negativo. Questo è ciò che useremo, anche noi prendiamo il terreno come #y = 0 #

#color (rosso) ("EDIT:") # Ho aggiunto un approccio usando le equazioni cinematiche che apprendi all'inizio nella parte inferiore. Tutto quello che ho fatto qui è derivare da questi usando il calcolo, ma apprezzo che tu possa non averlo coperto.Scorri verso il basso fino al titolo rosso per l'approccio non di calcolo.

Possiamo guardare a questo molto più da vicino partendo da zero con la seconda legge di Newton. Quando la pietra viene rilasciata, ha una velocità iniziale, ma l'unica forza che agisce su di essa è dovuta alla gravità. Abbiamo definito la direzione positiva verso l'alto in modo che la seconda legge di Newton sia in grado di scrivere

#m (d ^ 2y) / (dt ^ 2) = -mg #

# (d ^ 2y) / (dt ^ 2) = -g #

Questo perché la pietra accelera verso la terra, che abbiamo definito come la direzione negativa.

L'integrazione di questa espressione fornisce:

# (dy) / (dt) = -g t + C #

# (dy) / (dt) = y '(t) # è la velocità della pietra, quindi quando applichiamo la velocità iniziale a #y '(0) = + 20,68 # arriviamo a

# 20,68 = g * 0 + C #

#implies C = 20,68 #

# (dy) / (dt) = 20,68 - g t #

Questo modello la velocità e ha senso se ci pensate. Quando viene rilasciato, avrà la stessa velocità dell'elicottero e quindi si muoverà verso l'alto per un certo tempo, ma con il passare del tempo si fermerà e inizierà a cadere.

Per trovare lo spostamento, ci integriamo nuovamente:

#y (t) = 20,68t - 1 / 2g t ^ 2 + C #

Applica la condizione iniziale #y (0) = 174,9 #

# 174,9 = 20,68 * 0 - 1 / 2g * 0 ^ 2 + C #

#implies C = 174.9 #

#therefore y (t) = 20,68t - 1 / 2g t ^ 2 + 174.9 #

Per risolvere il tempo per raggiungere il terreno, impostare # Y = 0 # e risolvi il quadratico:

# 1 / 2g t ^ 2 - 20,68t - 174,9 = 0 #

Questo è sicuramente un lavoro per la formula quadratica:

#t = (20,68 + -sqrt (20,68 ^ 2 - 4 (1 / 2g) (- 174,9))) / g #

presa #g = 9,8ms ^ (- 2) #

#t = 8,45 o -4,23 #

Scartiamo la soluzione negativa, quindi la pietra impiega 8,45 secondi per colpire il suolo.

#color (rosso) ("No Approach Calculus") #

Lo sappiamo #v = v_0 + in # dove # V # è la velocità finale, # # V_0 è la velocità iniziale, #un# è accelerazione e # T # è il momento in cui è richiesto.

Come ho detto prima, con un sistema di coordinate verso l'alto # G # sarà negativo ma la pietra inizialmente si muoverà verso l'alto a causa della sua velocità iniziale. Vogliamo trovare il punto in cui smette di spostarsi verso l'alto:

Impostato #v = 0 #

# 0 = v_0 - g t #

#quindi t = v_0 / g = 20,68 / 9,8 #

Adesso usa

#S = v_0t + 1 / 2at ^ 2 # di nuovo con #a = -g #

così #S = v_0 (v_0 / g) -1 / 2g (v_0 / g) ^ 2 #

#S = (v_0) ^ 2 / g - v_0 ^ 2 / (2g) #

#S = (20,68) ^ 2 / 9,8 - (20,68 ^ 2) / (2 * 9,8) #

#S = 21,8m #

Ciò significa che la pietra si ferma momentaneamente a #y = 174,9 + 21,8 #

#y = 196,7m #

Ora non abbiamo alcuna fastidiosa velocità iniziale da affrontare, solo una caduta dritta da questa altezza:

#S = v_0t -1 / g t ^ 2 #

# v_0 = 0 #

Siccome verso l'alto è positivo, la caduta provocherà uno spostamento negativo così

# -196.7 = -1 / 2g t ^ 2 #

# 196.7 = 1/2 g t ^ 2 #

#t = sqrt ((2 * 196.7) /9.8) #

#t = 8,45 # come richiesto.

Risposta:

8.45s

Spiegazione:

L'elicottero sta salendo con una velocità # U = 20.68m / s # Quindi la pietra caduta da essa avrà la stessa velocità iniziale della velocità ascendente dell'elicottero, ma la forza gravitazionale verso il basso fornirà un'accelerazione verso il basso (g).

Considerando il punto di lasciare cadere la pietra dall'elicottero come origine, procediamo come segue

Se in su velocità iniziale da prendere positivo poi accelerazione verso il basso (g) dovrebbe essere preso come negativo e spostamento verso il basso (h) dovrebbe anche essere considerato negativo.

#color (rosso) ("Qui verso l'alto + ve verso il basso -ve") #

Ora calcolo del tempo (t) di raggiungere il suolo

Quindi abbiamo

# u = + 20,68m / s #

# G = -9.8m / s ^ 2 #

# H = -174.9m #

#t = #

Inserimento di questi in equazione del moto in gravità (comprendente le variabili h, u, g, t) noi abbiamo

# H = uxxt + 1 / 2xxgxxt ^ 2 #

# => - 174.9 = 20.68xxt-1 / 2xx9.8xxt ^ 2 …. (1) #

# => 4.9t ^ 2-20.68t-174.9 = 0 #

# => T = (20.68 + sqrt ((- 20.68) ^ 2-4 * 4.9 * (- 174,9))) / (2 * 4.9) #

#:. t = 8.45s #

La stessa equazione (1) sarà ottenuta se invertiamo la direzione#color (rosso) ("i.e.upward - ive e downward + ive.") #