Un triangolo ha angoli in (4, 1), (2, 4) e (0, 2) #. Quali sono i punti finali delle bisettrici perpendicolari del triangolo?

Risposta:

Gli endpoint facili sono i punti medi, #(1,3), (2, 3/2), (3, 5/2)# e quelli più difficili sono dove le bisettrici incontrano gli altri lati, tra cui #(8/3,4/3).#

Spiegazione:

Per le bisettrici perpendicolari di un triangolo si intende presumibilmente la bisettrice perpendicolare di ciascun lato di un triangolo. Quindi ci sono tre bisettrici perpendicolari per ogni triangolo.

Ogni bisettrice perpendicolare è definita per intersecare un lato nel suo punto medio. Intersecherà anche uno degli altri lati. Presumeremo che quei due incontri siano gli endpoint.

I punti medi sono

# D = frac 1 2 (B + C) = ((2 + 0) / 2, (4 + 2) / 2) = (1,3) #

# E = frac 1 2 (A + C) = (2, 3/2) #

# F = frac 1 2 (A + B) = (3, 5/2) #

Questo è probabilmente un buon posto per conoscere le rappresentazioni parametriche per linee e segmenti di linea. # T # è un parametro che può andare oltre i reali (per una linea) o da #0# a #1# per un segmento di linea.

Etichettiamo i punti #A (4,1) #, #B (2,4) # e #C (0,2) #. I tre lati sono:

# AB: (x, y) = (1-t) A + tB #

#AB: (x, y) = (1-t) (4,1) + t (2,4) = (4-2t, 1 + 3t) #

# BC: (x, y) = (1-t) (2,4) + t (0,2) = (2-2t, 4-2t) #

# AC: (x, y) = (1-t) (4,1) + t (0,2) = (4-4t, 1 + t) #

Come # T # va da zero a uno tracciamo ogni lato.

Lavoriamo uno fuori. # D # è il punto medio di #AVANTI CRISTO#, # D = frac 1 2 (B + C) = ((2 + 0) / 2, (4 + 2) / 2) = (1,3) #

Il vettore di direzione da C a B è # B-C = (2,2) #. Perpendicolare, invertiamo i due coefficienti (nessun effetto qui perché sono entrambi #2#) e ne negano uno. Quindi l'equazione parametrica perpendicolare

# (x, y) = (1,3) + t (2, -2) = (2u + 1, -2u + 3) #

(Linea diversa, parametro diverso.) Possiamo vedere dove questo soddisfa ciascuno dei lati.

#BC: (2-2t, 4-2t) = (2u + 1, -2u + 3) #

# 1 = 2t + 2u #

# 1 = 2t - 2u #

# 2 = 4t #

# t = 1/2 #

# t = 1/2 # verifica che la bisettrice perpendicolare incontri BC al suo punto medio.

#AB: (4-2t, 1 + 3t) = (2u + 1, -2u + 3) #

# 4-2t = 2u + 1 #

# 2t + 2u = 3 #

# 1 + 3t = - 2u + 3 #

# 3t + 2u = 2 #

sottraendo, # t = 2-3 = - 1 #

Questo è al di fuori dell'intervallo in modo che la bisettrice perpendicolare di BC non colpisca il lato AB.

# AC: 4-4t = 2u + 1 quad quad 3 = 4t + 2u #

# 1 + t = -2u + 3 quad quad 2 = t + 2u #

sottraendo, # 1 = 3t #

# t = 1/3 #

Ciò fornisce l'altro endpoint come

# (4-4t, 1 + t) = (8/3, 4/3) #

Questo sta diventando lungo, quindi lascerò gli altri due endpoint a te.