Per favore aiuto. Non sono sicuro di come farlo rapidamente senza moltiplicare tutto questo?

Risposta:

La risposta a (io) è #240#.

La risposta a (Ii) è #200#.

Spiegazione:

Possiamo farlo usando il triangolo di Pascal, mostrato sotto.

(io)

Poiché l'esponente è #6#, dobbiamo usare la sesta riga nel triangolo, che include #color (viola) (1, 6, 15, 20, 15, 6) # e #color (viola) 1 #. Fondamentalmente, useremo #color (blu) 1 # come il primo termine e #color (rosso) (2x) # come il secondo. Quindi, possiamo creare la seguente equazione. L'esponente del primo termine aumenta di #1# ogni volta e l'esponente del secondo termine diminuisce di #1# con ogni termine dal triangolo.

# (Colore (viola) 1 * colore (blu) (1 ^ 0) * colore (rosso) ((2x) ^ 6)) + (colore (viola) 6 * colore (blu) (1 ^ 1) * colore (rosso) ((2x) ^ 5)) + (colore (viola) 15 * colore (blu) (1 ^ 2) * colore (rosso) ((2x) ^ 4)) + (colore (viola) 20 * colore (blu) (1 ^ 3) * colore (rosso) ((2x) ^ 3)) + (colore (viola) 15 * colore (blu) (1 ^ 4) * colore (rosso) ((2x) ^ 2)) + (colore (viola) 6 * colore (blu) (1 ^ 5) * colore (rosso) ((2x) ^ 1)) + (colore (viola) 1 * colore (blu) (1 ^ 6) * colore (rosso) ((2x) ^ 0)) #

Quindi, possiamo semplificarlo.

# 64x ^ 6 + 192x ^ 5 + 240x ^ 4 + 160x ^ 3 + 60x ^ 2 + 12x + 1 #

Pertanto, il coefficiente di # X ^ 4 # è #240#.

(Ii)

Conosciamo già l'espansione di # (1 + 2x) ^ 6 #. Ora possiamo moltiplicare le due espressioni insieme.

#color (marrone) (1-x (1/4)) * colore (arancione) (64x ^ 6 + 192x ^ 5 + 240x ^ 4 + 160x ^ 3 + 60x ^ 2 + 12x + 1) #

Il coefficiente del #X# nel # 1-x (1/4) # è #1#. Quindi, sappiamo che aumenterà i valori degli esponenti nell'altra espressione di #1#. Perché abbiamo bisogno del coefficiente di # X ^ 4 #, dobbiamo solo moltiplicare # 160x ^ 3 # di # 1-x (1/4) #.

# 160x ^ 3-40x ^ 4 #

Ora, dobbiamo aggiungerlo # 240x ^ 4 #. Questa è una parte della soluzione di # 240x ^ 4 * (1-x (1/4)) #, a causa della moltiplicazione di #1#. È significativo perché ha anche un esponente di #4#.

# -40x ^ 4 + 240x ^ 4 = 200 x ^ 4 #

Pertanto, il coefficiente è #200#.

Risposta:

io. # 240x ^ 4 #

ii. # 200x ^ 4 #

Spiegazione:

L'espansione binomiale per # (A + bx) ^ C # può essere rappresentato come:

#sum_ (n = 0) ^ c (c!) / (n! (c-n)!) a ^ (c-n) (BX) ^ n #

Per la parte 1 abbiamo solo bisogno di quando # N = 4 #:

# (6!) / (4! (6-4)!) 1 ^ (6-4) (2x) ^ 4 #

# 720 / (24 (2)) 16x ^ 4 #

# 720/48 16x ^ 4 #

# 15 * 16x ^ 4 #

# 240x ^ 4 #

Per la parte 2, abbiamo anche bisogno del # X ^ 3 # termine a causa del # X / 4 #

# (6!) / (3! (6-3)!) 1 ^ (6-3) (2x) ^ 3 #

# 720 / (3! (3)!) 8x ^ 3 #

# 720 / (6 ^ 2) 8x ^ 3 #

# 720/36 8x ^ 3 #

# 20 * 8x ^ 3 #

# 160x ^ 3 #

# 160x ^ 3 (-x / 4) = - 40x ^ 4 #

# -40x ^ 4 + 240x ^ 4 = 200 x ^ 4 #