X ^ 6 - 5x ^ 3 + 8 ................ (fattore)?

Risposta:

# x ^ 6-5x ^ 3 + 8 = #

# (X ^ 2- (alfa + barra (alfa)) x + 2) (x ^ 2- (omegaalpha + omega ^ 2bar (alfa)) x + 2) (x ^ 2- (omega ^ 2alfa + omegabar (alfa)) x + 2) #

come descritto sotto…

Spiegazione:

Avvertimento:

Questa risposta potrebbe essere più avanzata di quanto ci si aspetti.

Gli appunti

È possibile semplificare e trovare:

# alpha + bar (alpha) = 1/2 (1 + sqrt (21)) #

# omegaalpha + omega ^ 2bar (alpha) = 1/2 (1-sqrt (21)) #

# omega ^ 2alpha + omegabar (alpha) = -1 #

ma non è (ancora) chiaro per me come meglio farlo.

Risposta:

# X ^ 6-5x ^ 3 + 8 #

# = (x ^ 2 + x + 2) (x ^ 2 + (- 1/2 + sqrt (21) / 2) x + 2) (x ^ 2 + (- 1/2-sqrt (21) / 2) x + 2) #

Spiegazione:

Ecco un metodo più semplice …

Dato:

# X ^ 6-5x ^ 3 + 8 #

Cerca una fattorizzazione del modulo:

# X ^ 6-5x ^ 3 + 8 #

# = (x ^ 2 + alphax + 2) (x ^ 2 + betax + 2) (x ^ 2 + gammax + 2) #

# = X ^ 6 + (alpha + beta + gamma) x ^ 5 + (alphabeta + BetaGamma + gammaalpha + 6) x ^ 4 + (2 (alfa + beta + gamma) + alphabetagamma) x ^ 3 + (2 (AlphaBeta + + BetaGamma gammaalpha) +12) x ^ 2 + 4 (alpha + beta + gamma) x + 8 #

Coefficienti di equazione troviamo:

# {(alpha + beta + gamma = 0), (alphabeta + betagamma + gammaalpha = -6), (alphabetagamma = -5):} #

Così #alpha, beta, gamma # sono gli zeri del cubo:

# (X-alpha) (x-beta) (x-gamma) #

# = X ^ 3 (alpha + beta + gamma) x ^ 2 + (alphabeta + BetaGamma + gammaalpha) X-alphabetagamma #

# = X ^ 3-6x + 5 #

Si noti che la somma dei coefficienti di questo cubo è #0#. Questo è #1-6+5 = 0#.

Quindi # X = 1 # è uno zero e # (X-1) # un fattore:

# x ^ 3-6x + 5 = (x-1) (x ^ 2 + x-5) #

Gli zeri del quadratico rimanente possono essere trovati usando la formula quadratica come:

#x = (-1 + -sqrt (1 ^ 2-4 (1) (- 5))) / (2 (1)) = 1/2 (-1 + -sqrt (21)) #

Così # {alpha, beta, gamma} = {1, -1 / 2 + sqrt (21) / 2, -1 / 2-sqrt (21) / 2} #

Così:

# X ^ 6-5x ^ 3 + 8 #

# = (x ^ 2 + x + 2) (x ^ 2 + (- 1/2 + sqrt (21) / 2) x + 2) (x ^ 2 + (- 1/2-sqrt (21) / 2) x + 2) #

indennità

Possiamo generalizzare la derivazione di cui sopra?

# X ^ 6 + 3 + px ^ q ^ 3 #

# = (X ^ 2 + Alphax + q) (x ^ 2 + BETAx + q) (x ^ 2 + gammax + q) #

# = X ^ 6 + (alpha + beta + gamma) x ^ 5 + (alphabeta + BetaGamma + gammaalpha + 3q) x ^ 4 + (q (alpha + beta + gamma) + alphabetagamma) x ^ 3 + q (AlphaBeta + BetaGamma + gammaalpha + 3q) x ^ 2 + q ^ 2 (alpha + x beta + gamma) + q ^ 3 #

Coefficienti equivalenti

# {((alpha + beta + gamma = 0), (alphabeta + betagamma + gammaalpha = -3q), (alphabetagamma = p):} #

Quindi #alpha, beta, gamma # sono gli zeri di:

# X ^ 3-3qx-p #

Quindi se riusciamo a trovare tre zeri reali di questo cubo, allora abbiamo la fattorizzazione del sesso # X ^ 6 + 3 + px ^ q ^ 3 # in tre quadratici con coefficienti reali.