
Risposta:
Utilizzare le proprietà della funzione esponenziale per determinare N come
Spiegazione:
La definizione di convergenza afferma che il
Quindi, dato
Come
Ora come
E come
Ma:
Così:
Come volevasi dimostrare
Quale sarà il limite della seguente sequenza come n tende all'infinito? La sequenza converge o diverge?

1 lim_ (n ) a_n = lim_ (n ) (1 + sinn) ^ (1 / n) = (1 + sin ) ^ (1 / ) = (1+ (qualsiasi numero compreso tra -1 e 1)) ^ 0 = 1 questo implica che la sequenza data convergente e converge in 1
Usando la definizione di convergenza, come si dimostra che la sequenza {5+ (1 / n)} converge da n = 1 a infinito?

Sia: a_n = 5 + 1 / n quindi per ogni m, n in NN con n> m: abs (a_m-a_n) = abs ((5 + 1 / m) - (5 + 1 / n)) abs (a_m -a_n) = abs (5 + 1 / m -5-1 / n) abs (a_m-a_n) = abs (1 / m -1 / n) come n> m => 1 / n <1 / m: abs (a_m-a_n) = 1 / m -1 / n e come 1 / n> 0: abs (a_m-a_n) <1 / m. Dato un numero reale epsilon> 0, scegli un numero intero N> 1 / epsilon. Per tutti gli interi m, n> N abbiamo: abs (a_m-a_n) <1 / N abs (a_m-a_n) <epsilon che prova la condizione di Cauchy per la convergenza di una sequenza.
Usando la definizione di convergenza, come si dimostra che la sequenza lim 1 / (6n ^ 2 + 1) = 0 converge?

Dato un numero qualsiasi epsilon> 0 scegli M> 1 / sqrt (6epsilon), con M in NN. Quindi, per n> = M abbiamo: 6n ^ 2 + 1> 6n ^ 2> 6M ^ 2> = 6 / (6epsilon) = 1 / epsilon e così: n> = M => 1 / (6n ^ 2 + 1) <epsilon che dimostra il limite.