Usando la definizione di convergenza, come si dimostra che la sequenza {2 ^ -n} converge da n = 1 a infinito?

$Usando la definizione di convergenza, come si dimostra che la sequenza {2 ^ -n} converge da n = 1 a infinito?$

Risposta:

Utilizzare le proprietà della funzione esponenziale per determinare N come # | 2 ^ (- n) -2 ^ (- m) | <epsilon # per ogni # m, n> N #

Spiegazione:

La definizione di convergenza afferma che il #{un}# converge se:

#AA epsilon> 0 "" EE N: AA m, n> N "" | a_n-a_m | <epsilon #

Quindi, dato #epsilon> 0 # prendere #N> log_2 (1 / epsilon) # e # m, n> N # con #m <n #

Come #m <n #, # (2 ^ (- m) - 2 ^ (- n))> 0 # così # | 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) | = 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) #

# 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) = 2 ^ (- m) (1- 2 ^ (m-n)) #

Ora come # 2 ^ x # è sempre positivo, # (1- 2 ^ (m-n)) <1 #, così

# 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) <2 ^ (- m) #

E come # 2 ^ (- x) # è strettamente decrescente e #m> N> log_2 (1 / epsilon) #

# 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) <2 ^ (- m) <2 ^ (- N) <2 ^ (- log_2 (1 / epsilon) #

Ma:

# 2 ^ (- log_2 (1 / epsilon)) = 2 ^ (log_2 (epsilon)) = epsilon #

Così:

# | 2 ^ (- m) - 2 ^ (- n) | <epsilon #

Come volevasi dimostrare

Quale sarà il limite della seguente sequenza come n tende all'infinito? La sequenza converge o diverge?

1 lim_ (n ) a_n = lim_ (n ) (1 + sinn) ^ (1 / n) = (1 + sin ) ^ (1 / ) = (1+ (qualsiasi numero compreso tra -1 e 1)) ^ 0 = 1 questo implica che la sequenza data convergente e converge in 1

Usando la definizione di convergenza, come si dimostra che la sequenza {5+ (1 / n)} converge da n = 1 a infinito?

Sia: a_n = 5 + 1 / n quindi per ogni m, n in NN con n> m: abs (a_m-a_n) = abs ((5 + 1 / m) - (5 + 1 / n)) abs (a_m -a_n) = abs (5 + 1 / m -5-1 / n) abs (a_m-a_n) = abs (1 / m -1 / n) come n> m => 1 / n <1 / m: abs (a_m-a_n) = 1 / m -1 / n e come 1 / n> 0: abs (a_m-a_n) <1 / m. Dato un numero reale epsilon> 0, scegli un numero intero N> 1 / epsilon. Per tutti gli interi m, n> N abbiamo: abs (a_m-a_n) <1 / N abs (a_m-a_n) <epsilon che prova la condizione di Cauchy per la convergenza di una sequenza.

Usando la definizione di convergenza, come si dimostra che la sequenza lim 1 / (6n ^ 2 + 1) = 0 converge?

Dato un numero qualsiasi epsilon> 0 scegli M> 1 / sqrt (6epsilon), con M in NN. Quindi, per n> = M abbiamo: 6n ^ 2 + 1> 6n ^ 2> 6M ^ 2> = 6 / (6epsilon) = 1 / epsilon e così: n> = M => 1 / (6n ^ 2 + 1) <epsilon che dimostra il limite.