Usando la definizione di convergenza, come si dimostra che la sequenza {5+ (1 / n)} converge da n = 1 a infinito?

Permettere:

#a_n = 5 + 1 / n #

poi per qualsiasi # m, n in NN # con #n> m #:

#abs (a_m-a_n) = abs ((5 + 1 / m) - (5 + 1 / n)) #

#abs (a_m-a_n) = abs (5 + 1 / m -5-1 / n) #

#abs (a_m-a_n) = abs (1 / m -1 / n) #

come #n> m => 1 / n <1 / m #:

#abs (a_m-a_n) = 1 / m -1 / n #

e come # 1 / n> 0 #:

#abs (a_m-a_n) <1 / m #.

Dato un numero reale #epsilon> 0 #, scegli quindi un numero intero # N> 1 / Epsilon #.

Per qualsiasi numero intero # m, n> N # noi abbiamo:

#abs (a_m-a_n) <1 / N #

#abs (a_m-a_n) <epsilon #

che prova la condizione di Cauchy per la convergenza di una sequenza.