Risolvi la seguente equazione: (x ^ 2-2) / 3 + ((x ^ 2-1) / 5) ^ 2 = 7/9 (x ^ 2-2)?

Risposta:

# X = -sqrt11, -sqrt19 / 3, sqrt19 / 3, sqrt11 #

Questa spiegazione fornisce un metodo piuttosto approfondito per determinare i passaggi per trovare possibili fattori in cui riscrivere un'equazione di tipo quadratico in modo che sia risolvibile senza l'equazione quadratica e / o un calcolatore.

Spiegazione:

Prima piazza il termine sul lato sinistro dell'equazione.

# (X ^ 2-2) / 3 + (x ^ 2-1) ^ 2/25 = 7/9 (x ^ 2-2) #

Espandi il binomio quadrato. Richiama questo # (X ^ 2-1) ^ 2 = (x ^ 2-1) (x ^ 2-1) #.

# (X ^ 2-2) / 3 + (x ^ 4-2x ^ 2 + 1) / 25 = 7/9 (x ^ 2-2) #

Possiamo eliminare le frazioni moltiplicando l'equazione per il minimo comune denominatore di #3,25,# e #9,# che è #225#.

Nota che #225=3^2*5^2#, così #225/3=75#, #225/25=9#, e #225/9=25#.

Moltiplicando attraverso #225# dà:

# 75 (x ^ 2-2) +9 (x ^ 4-2x ^ 2 + 1) = 25 (7) (x ^ 2-2) #

Distribuisci ogni costante moltiplicativa.

# 75x ^ 2-150 + 9x ^ 4-18x ^ 2 + 9 = 175x ^ 2-350 #

Spostare tutti i termini su un lato e riordinare l'equazione.

# 9 x ^ 4-118x ^ 2 + 209 = 0 #

Questo ha il potenziale per essere fattore: la mancanza di # X ^ 3 # e #X# termini significa che questo può essere in grado di essere fattorizzato nella forma # (X ^ 2 + a) (x ^ 2 + b) #.

Per verificare i fattori, si noti che dovremmo trovare una coppia di numeri interi il cui prodotto è il prodotto del primo e del coefficiente finale, che è # 9xx209 = 3 ^ 2 * 11 * 19 #. Gli stessi numeri interi del prodotto #3^2*11*19# dovrebbe avere una somma di #-118#.

Poiché il prodotto è positivo e la somma è negativa, sappiamo che entrambi gli interi saranno positivi.

Il trucco ora è trovare una combinazione di numeri da cui proviene #3^2*11*19# la cui somma è #118#. (Se troviamo la versione positiva, possiamo passare facilmente entrambi i numeri alla loro forma negativa.)

Dovremmo tentare di inventare raggruppamenti di fattori #3^2*11*19# che non eccedono #118#.

Possiamo eliminare preventivamente la possibilità di #3^2*19# e #11*19# che si verificano come uno dei due numeri interi, poiché entrambi sono maggiori di #118#. Quindi, se ci concentriamo su #19# dal momento che è il più grande fattore, sappiamo che esisterà solo come entrambi #19# o #3*19#.

Quindi, le nostre uniche due opzioni per gli interi sono:

# {:(bb "Intero 1", "", bb "Intero 2", "", bb "Somma"), (19, "", 3 ^ 2 * 11 = 99, "", 118), (19 * 3 = 57, "", 3 * 11 = 33, "", 90):} #

Da qui la nostra coppia di numeri il cui prodotto è #3^2*11*19# e la somma è #118# è #19# e #99#.

Da questo possiamo scrivere il quartic come:

# 9 x ^ 4-118x ^ 2 + 209 = 9 x ^ ^ 4-99x 2-19x ^ 2 + 209 #

Fattore raggruppando:

# 9x ^ 2 (x ^ 2-11) -19 (x ^ 2-11) = (9x ^ 2-19) (x ^ 2-11) = 0 #

Dividi questo in due equazioni:

# 9x ^ 2-19 = 0 "" => "" x ^ 2 = 19/9 "" => "" x = + - sqrt19 / 3 #

# x ^ 2-11 = 0 "" => "" x ^ 2 = 11 "" => "" x = + - sqrt11 #

Risposta:

Le equazioni con le frazioni sembrano sempre peggio di quello che sono. Finché hai un'equazione e non un'espressione, puoi sbarazzarti dei denominatori moltiplicandoli per il LCM dei denominatori.

Spiegazione:

# (x ^ 2 -2) / 3 + ((x ^ 2-1) / 5) ^ 2 = 7/9 (x ^ 2-2) #

Iniziamo con la quadratura del denominatore nel secondo termine.

# (x ^ 2 -2) / 3 + ((x ^ 2-1) ^ 2) / 25 = 7/9 (x ^ 2-2) #

Ora moltiplicare ogni termine per 225 per cancellare i denominatori.

#cancel (225) ^ 75xx ((x ^ 2 -2)) / cancel3 + cancel (225) ^ 9 ((x ^ 2-1) ^ 2) / cancel25 = cancel (225) ^ 25xx7 / cancel9 (x ^ 2-2) #

# 75 (x ^ 2 -2) + 9 (x ^ 2-1) ^ 2 = 175 (x ^ 2-2) #

Questo è chiaramente un quadratico, quindi rendilo uguale a 0.

# 75 (x ^ 2 -2) + 9 (x ^ 2-1) ^ 2 - 175 (x ^ 2-2) = 0 #

Si noti che il primo e il terzo termine sono termini simili, quindi possiamo aggiungerli. Anche quadrato nel medio termine.

# 9 (x ^ 4 - 2x ^ 2 +1) -100 (x ^ 2 -2) + = 0 #

Rimuovere le parentesi dalla legge distributiva:

# 9x ^ 4 - 18x ^ 2 +9 -100x ^ 2 + 200 = 0 #

Semplificare: # 9x ^ 4 - 118x ^ 2 + 209 = 0 #

Esplorare i fattori di 9 e 209 porta a

9 = 3x3, o 9x1 e 209 = 11 x 19

La combinazione di fattori che aggiunge 118 è 99 + 19

Fattoriale dà # (x ^ 2 - 11) (9x ^ 2- 19) = 0 #

Se # x ^ 2 - 11 = 0 #

# x ^ 2 = 11 #

# x = + -sqrt11 #

Se # 9x ^ 2- 19 = 0 #

# 9x ^ 2 = 19 #

# x ^ 2 = 19/9 #

# x = (+ -sqrt19) / 3 #