Come trovi il limite di (8x-14) / (sqrt (13x + 49x ^ 2)) quando x si avvicina a oo?

Risposta:

Fai un po 'di factoring e cancella per ottenere #lim_ (x-> oo) (8x-14) / (sqrt (13x + 49x ^ 2)) = 8/7 #.

Spiegazione:

Ai limiti dell'infinito, la strategia generale consiste nel trarre vantaggio dal fatto che #lim_ (x-> oo) 1 / x = 0 #. Normalmente ciò significa ricondurre a #X#, che è quello che faremo qui.

Inizia fattorizzando un #X# fuori dal numeratore e un # X ^ 2 # fuori dal denominatore:

# (X (8-14 / x)) / (sqrt (x ^ 2 (13 / x + 49))) #

# = (X (8-14 / x)) / (sqrt (x ^ 2) sqrt (13 / x + 49)) #

Il problema è ora con #sqrt (x ^ 2) #. È equivalente a #abs (x) #, che è una funzione a tratti:

#abs (x) = {(x, "per", x> 0), (- x, "per", x <0):} #

Poiché questo è un limite all'infinito positivo (#x> 0 #), sostituiremo #sqrt (x ^ 2) # con #X#:

# = (X (8-14 / x)) / (xsqrt (13 / x + 49)) #

Ora possiamo cancellare il #X#S:

# = (8-14 / x) / (sqrt (13 / x + 49)) #

E finalmente vedi cosa succede come #X# va a # Oo #:

# = (8-14 / oo) / (sqrt (13 / oo + 49)) #

Perché #lim_ (x-> oo) 1 / x = 0 #, questo è uguale a:

# (8-0) / (sqrt (0 + 49)) #

# = 8 / sqrt (49) #

#=8/7#