Come si semplifica 2cos ^ 2 (4θ) -1 utilizzando una formula a doppio angolo?

Risposta:

# 2 cos ^ 2 (4 theta) - 1 = cos (8 theta) #

Spiegazione:

Esistono diverse formule a doppio angolo per il coseno. Di solito il preferito è quello che trasforma un coseno in un altro coseno:

# cos 2x = 2 cos ^ 2 x - 1 #

Possiamo effettivamente prendere questo problema in due direzioni. Il modo più semplice è quello di dire # X = 4 theta # così otteniamo

# cos (8 theta) = 2 cos ^ 2 (4 theta) - 1 #

che è piuttosto semplificato.

La solita strada da percorrere è ottenere questo in termini di # cos theta #. Iniziamo lasciando # X = 2 theta. #

# 2 cos ^ 2 (4 theta) - 1 #

# = 2 cos ^ 2 (2 (2 theta)) - 1 #

# = 2 (2 cos ^ 2 (2 theta) - 1) ^ 2 - 1 #

# = 2 (2 (2 cos ^ 2 theta -1) ^ 2 -1) ^ 2 -1 #

# = 128 cos ^ 8 theta - 256 cos ^ 6 theta + 160 cos ^ 4 theta - 32 cos ^ 2 theta + 1 #

Se ci mettiamo # x = cos theta # avremmo l'ottavo polinomio di Chebyshev del primo tipo, # T_8 (x) #, soddisfacente

#cos (8x) = T_8 (cos x) #

Immagino che il primo modo fosse probabilmente quello che stanno cercando.