Risolvi la seguente equazione in numeri naturali: x² + y² = 1997 (x-y)?

Risposta:

# (x, y) = (170, 145) # o # (x, y) = (1817, 145) #

Spiegazione:

La seguente dimostrazione si basa su quella del libro "Un'introduzione alle equazioni diofantee: un approccio basato sui problemi" di Titu Andreescu, Dorin Andrica, Ion Cucurezeanu.

Dato:

# X ^ 2 + y ^ 2 = 1997 (x-y) #

Permettere #a = (x + y) # e #b = (1997-x + y) #

Poi:

# a ^ 2 + b ^ 2 = (x + y) ^ 2 + (1997-x + y) ^ 2 #

# = X ^ 2 + y ^ 2xy + 2 + 1997 ^ 2 + x ^ 2 + y ^ 2-2 (1997 (xy) + xy) #

# = X ^ 2 + 2xy + y ^ 2 + 1997 ^ 2 + x ^ 2 + y ^ 2-2 (x ^ 2 + y ^ 2 + xy) #

#=1997^2#

Quindi troviamo:

# {(0 <a = x + y <1997), (0 <b = 1997-x + y <1997):} #

Da #1997# è primo, #un# e # B # non hanno un fattore comune maggiore di #1#.

Quindi esistono interi positivi #m, n # con #m> n # e nessun fattore comune maggiore di #1# tale che:

# {(1997 = m ^ 2 + n ^ 2), (a = 2mn), (b = m ^ 2-n ^ 2):} colore (bianco) (XX) "o" colore (bianco) (XX) {(1997 = m ^ 2 + n ^ 2), (a = m ^ 2-n ^ 2), (b = 2mn):} #

Guardando # 1997 = m ^ 2 + n ^ 2 # nel mod #3# e mod #5# aritmetica, troviamo:

# 2 - = 1997 = m ^ 2 + n ^ 2 # (mod #3#) quindi #m - = + -1 # e #n - = + -1 # (mod #3#)

# 2 - = 1997 = m ^ 2 + n ^ 2 # (mod #5#) quindi #m - = + -1 # e #n - = + -1 # (mod #5#)

Ciò significa che le uniche possibilità per #m, n # modulo #15# siamo #1, 4, 11, 14#.

Inoltre, nota che:

# m ^ 2 in (1997/2, 1997) #

Quindi:

#m in (sqrt (1997/2), sqrt (1997)) ~~ (31.6, 44.7) #

Quindi le uniche possibilità per # M # siamo #34, 41, 44#

Noi troviamo:

#1997 - 34^2 = 841 = 29^2#

#1997 - 41^2 = 316# non un quadrato perfetto.

#1997 - 44^2 = 61# non un quadrato perfetto.

Così # (m, n) = (34, 29) #

Così:

# (a, b) = (2mn, m ^ 2-n ^ 2) = (1972, 315) #

# (a, b) = (m ^ 2-n ^ 2, 2mn) = (315, 1972) #

#colore bianco)()#

Se # (a, b) = (1972, 315) # poi:

# {(x + y = 1972), (1997-x + y = 315):} #

e quindi:

# (x, y) = (1817, 145) #

#colore bianco)()#

Se # (a, b) = (315, 1972) # poi:

# {(x + y = 315), (1997-x + y = 1972):} #

e quindi:

# (x, y) = (170, 145) #