Domanda # ba262

Risposta:

La dimostrazione è un po 'lunga, ma gestibile. Vedi sotto.

Spiegazione:

Quando provi a dimostrare le identità trigonometriche che coinvolgono le frazioni, è sempre una buona idea aggiungere prima le frazioni:

# Sint / (1-costo) + (1 + costo) / sint = (2 (1 + costo)) / sint #

# -> sint / (1-costo) sint / sint + (1 + costo) / sint (1-costo) / (1-costo) = (2 (1 + costo)) / sint #

# -> sin ^ 2t / ((1-costo) (sint)) + ((1 + costo) (1-costo)) / ((1-costo) (sint)) = (2 (1 + costo)) / sint #

# -> (sin ^ 2t + (1 + costo) (1-costo)) / ((1-costo) (sint)) = (2 (1 + costo)) / sint #

L'espressione # (Costo 1 +) (1-costo) # è in realtà una differenza di quadrati travestiti:

# (A + b) (a-b) = a ^ 2-b ^ 2 #

Con # A = 1 # e # B = costo #. Valuta a # (1) ^ 2- (costo) ^ 2 = 1-cos ^ 2t #.

Possiamo andare ancora oltre con # 1-cos ^ 2t #. Ricorda l'identità pitagorica di base:

# Cos ^ 2x + sin ^ 2x = 1 #

sottraendo # cos ^ 2x # da entrambi i lati, vediamo:

# Sin ^ 2x = 1-cos ^ 2x #

Da #X# è solo una variabile segnaposto, possiamo dirlo # Sin ^ 2t = 1-cos ^ 2t #. quindi, il # (Costo 1 +) (1-costo) # diventa # Peccato ^ 2t #:

# (Sin ^ 2t + sin ^ 2t) / ((1-costo) (sint)) = (2 (1 + costo)) / sint #

# -> (2sin ^ 2t) / ((1-costo) (sint)) = (2 (1 + costo)) / sint #

Nota che Sines annulla:

# (2cancel (sin ^ 2t) ^ sint) / ((1-costo) annullare ((sint))) = (2 (1 + costo)) / sint #

# -> (2sint) / (1-costo) = (2 (1 + costo)) / sint #

Abbiamo quasi finito. L'ultimo passo è moltiplicare il lato sinistro per il coniugato di # 1-costo # (che è # 1 + costo #), per sfruttare la differenza di proprietà dei quadrati:

# (2sint) / (1-costo) (1 + costo) / (1 + costo) = (2 (1 + costo)) / sint #

# -> (2sint (1 + costo)) / ((1-costo) (1 + costo)) = (2 (1 + costo)) / sint #

Di nuovo, possiamo vederlo # (1-costo) (1 + costo) # è una differenza di quadrati, con # A = 1 # e # B = costo #. Valuta a # (1) ^ 2- (costo) ^ 2 #, o # 1-cos ^ 2t #. L'abbiamo già dimostrato # Sin ^ 2t = 1-cos ^ 2t #, quindi il denominatore viene sostituito:

# (2sint (1 + costo)) / (sin ^ 2t) = (2 (1 + costo)) / sint #

Annulla Sines:

# (2cancel (sint) (1 + costo)) / (annulla (sin ^ 2t) ^ sint) = (2 (1 + costo)) / sint #

E voilà, prova completa:

# (2 (1 + costo)) / sint = (2 (1 + costo)) / sint #

Risposta:

Fammi provare

Spiegazione:

# LHS = sint / (1-costo) + (1 + costo) / sint #

Ispezionando il RHS che prendiamo in comune# (1 + costo) / sint #

Così

# LHS = (1 + costo) / sint (sint / (1 + costo) * sint / (1-costo) +1) #

# = (1 + costo) / sint (sin ^ 2t / (1-cos ^ 2t) +1) #

# = (1 + costo) / sint (sin ^ 2t / sin ^ 2t + 1) #

# = (1 + costo) / sint (1 + 1) #

# = (2 (1 + costo)) / sint = RHS #

dimostrato