Differenzia dal primo principio x ^ 2sin (x)?

Risposta:

# (df) / dx = 2xsin (x) + x ^ 2cos (x) # dalla definizione del derivato e prendendo alcuni limiti.

Spiegazione:

Permettere #f (x) = x ^ 2 sin (x) #. Poi

# (df) / dx = lim_ {h a 0} (f (x + h) - f (x)) / h #

# = lim_ {h a 0} ((x + h) ^ 2sin (x + h) - x ^ 2sin (x)) / h #

# = lim_ {h a 0} ((x ^ 2 + 2hx + h ^ 2) (sin (x) cos (h) + sin (h) cos (x)) - x ^ 2sin (x)) / h #

#=#

# lim_ {h a 0} (x ^ 2sin (x) cos (h) - x ^ 2sin (x)) / h + #

# lim_ {h a 0} (x ^ 2sin (h) cos (x)) / h + #

# lim_ {h a 0} (2hx (sin (x) cos (h) + sin (h) cos (x))) / h + #

# lim_ {h a 0} (h ^ 2 (sin (x) cos (h) + sin (h) cos (x))) / h #

da un'identità trigonometrica e alcune semplificazioni. Su queste quattro ultime righe abbiamo quattro termini.

Il primo termine uguale a 0, poiché

#lim_ {h a 0} (x ^ 2sin (x) cos (h) - x ^ 2sin (x)) / h #

# = x ^ 2sin (x) (lim_ {h a 0} (cos (h) - 1) / h) #

#= 0#, che può essere visto per es. dall'espansione di Taylor o dal governo di L'Hospital.

Il Quarto trimestre svanisce anche perché

#lim_ {h a 0} (h ^ 2 (sin (x) cos (h) + sin (h) cos (x))) / h #

# = lim_ {h a 0} h (sin (x) cos (h) + sin (h) cos (x)) #

#= 0#.

Ora il secondo termine semplifica a

# lim_ {h a 0} (x ^ 2sin (h) cos (x)) / h #

# = x ^ 2cos (x) (lim_ {h a 0} (sin (h)) / h) #

# = x ^ 2cos (x) #, da

#lim_ {h a 0} (sin (h)) / h = 1 #, come mostrato qui, o per es. Regola di L'Hospital (vedi sotto).

Il terzo termine semplifica a

# lim_ {h a 0} (2hx (sin (x) cos (h) + sin (h) cos (x))) / h #

# = lim_ {h a 0} 2xsin (x) cos (h) + 2xsin (h) cos (x) #

# = 2xsin (x) #,

che dopo aggiungendo al secondo termine Dà questo

# (df) / dx = 2xsin (x) + x ^ 2cos (x) #.

Nota: secondo il regolamento di L'Hospital, da allora # lim_ {h a 0} sin (h) = 0 # e # lim_ {h a 0} h = 0 # ed entrambe le funzioni sono differenziabili in giro # H = 0 #, abbiamo quello

# lim_ {h a 0} sin (h) / h = lim_ {h a 0} ((d / (dh)) sin (h)) / (d / (dh) h) = lim_ { da h a 0} cos (h) = 1 #.

Il limite # lim_ {h a 0} (cos (h) - 1) / h = 0 # può essere mostrato allo stesso modo.