Quali sono le possibili radici razionali x ^ 5 -12x ^ 4 +2 x ^ 3 -3x ^ 2 + 8x-12 = 0?

Risposta:

Questo quintic non ha radici razionali.

Spiegazione:

#f (x) = x ^ 5-12x ^ 4 + 2x ^ 3-3x ^ 2 + 8x-12 #

Con il teorema della radice razionale, eventuali zeri di #f (x) # sono espressi nella forma # P / q # per numeri interi #p, q # con # P # un divisore del termine costante #-12# e # # Q un divisore del coefficiente #1# del termine principale.

Ciò significa che l'unico possibile razionale gli zeri sono:

#+-1, +-2, +-3, +-4, +-6, +-12#

Nota che #f (-x) = -x ^ 5-12x ^ 4-2x ^ 3-3x ^ 2-8x-12 # ha tutti i coefficienti negativi. Quindi #f (x) # non ha zero negativi.

Quindi l'unico possibile razionale gli zeri sono:

#1, 2, 3, 4, 6, 12#

Valutare #f (x) # per ognuno di questi valori, non troviamo nessuno è uno zero. Così #f (x) # non ha razionale zeri.

In comune con la maggior parte dei quintics e dei polinomi di grado superiore, gli zeri non sono espressi in termini di # N #le radici o le funzioni elementari, comprese le funzioni trigonometriche.

È possibile utilizzare metodi numerici come Durand-Kerner per trovare le approssimazioni:

# x_1 ~~ 11.8484 #

#x_ (2,3) ~~ -0,640414 + -0.877123i #

#x_ (4,5) ~~ 0.716229 + -0.587964i #