Considera l'equazione quadratica # x ^ 2 + 4x + 4 = 0 #che, sul lato sinistro, è anche un perfetto trinomio quadrato. Factoring da risolvere:
# => (x + 2) (x + 2) = 0 #
# => x = -2 e -2 #
Due soluzioni identiche! Ricorda che le soluzioni di un'equazione quadratica sono le x intercettazioni sulla corrispondente funzione quadratica.
Quindi, le soluzioni per l'equazione # x ^ 2 + 5x + 6 = 0 #, ad esempio, saranno le x intercettazioni sul grafico di #y = x ^ 2 + 5x + 6 #.
Allo stesso modo, le soluzioni per l'equazione # x ^ 2 + 4x + 4 = 0 # saranno le x intercettazioni sul grafico di #y = x ^ 2 + 4x + 4 #.
Dal momento che c'è davvero una sola soluzione # x ^ 2 + 4x + 4 = 0 #, il vertice della funzione #y = x ^ 2 + 4x + 4 # giace sull'asse x.
Ora, pensa al discriminante di un'equazione quadratica. Se non hai esperienza precedente, non preoccuparti.
Usiamo il discriminante, # b ^ 2 - 4ac #, per verificare quante soluzioni e il tipo di soluzione, un'equazione quadratica della forma # ax ^ 2 + bx + c = 0 # può avere senza risolvere l'equazione.
Quando il discriminante è uguale a meno di #0#, l'equazione avrà nessuna soluzione. Quando il discriminante equivale esattamente a zero, l'equazione avrà esattamente una soluzione. Quando il discriminante è uguale a qualsiasi numero maggiore di zero, ci sarà esattamente due soluzioni. Se il numero in questione che ottieni come risultato è un quadrato perfetto in quest'ultimo caso, l'equazione avrà due soluzioni razionali. In caso contrario, avrà due soluzioni irrazionali.
Ho già dimostrato che quando si dispone di un trinomio quadrato perfetto, si avranno due soluzioni identiche, equivalenti a una soluzione. Quindi, possiamo impostare il discriminante #0# e risolvere per # C #.
Dove #a = 1, b = 14 ec =? #:
# b ^ 2 - 4ac = 0 #
# 14 ^ 2 - 4 xx 1 xx c = 0 #
# 196 - 4c = 0 #
# 4c = 196 #
#c = 49 #
Quindi, il perfetto trinomio quadrato con #a = 1 eb = 14 # è # x ^ 2 + 14x + 49 #. Possiamo verificarlo tramite factoring.
# x ^ 2 + 14x + 49 = (x + 7) (x + 7) = (x + 7) ^ 2 #
Esercizi di pratica:
- Utilizzando il discriminante, determinare i valori di #a, b, o c # che rendono i trinomiali quadrati perfetti.
un) # ax ^ 2 - 12x + 4 #
b) # 25x ^ 2 + bx + 64 #
c) # 49x ^ 2 + 14x + c #
Speriamo che questo aiuti, e buona fortuna!
