Come integreresti int_1 ^ e 1 / (x sqrt (ln ^ 2x)) dx?

Risposta:

Questo integrale non esiste.

Spiegazione:

Da #ln x> 0 # nell'intervallo # 1, e #, noi abbiamo

#sqrt {ln ^ 2 x} = | ln x | = ln x #

qui, così che l'integrale diventi

# int_1 ^ e dx / {x ln x} #

Sostituto #ln x = u #, poi # dx / x = du # così che

# int_1 ^ e dx / {x ln x} = int_ {ln 1} ^ {ln e} {du} / u = int_0 ^ 1 {du} / u #

Questo è un integrale scorretto, poiché l'integrando si discosta al limite inferiore. Questo è definito come

#lim_ {l -> 0 ^ +} int_l ^ 1 {du} / u #

se questo esiste. Adesso

#int_l ^ 1 {du} / u = ln 1 - ln l = -ln l #

poiché questo si scosta nel limite #l -> 0 ^ + #, l'integrale non esiste.

Risposta:

# Pi / 2 #

Spiegazione:

L'integrale # Int_1 ^ e ("d" x) / (xsqrt (1-ln ^ 2 (x)) #.

Sostituire prima # U = ln (x) # e # "D" u = ("d" x) / x #.

Quindi, abbiamo

#int_ (x = 1) ^ (x = e) ("d" u) / sqrt (1-u ^ 2) #

Ora, sostituto # U = sin (v) # e # "D" U = cos (v) "d" v #.

Poi, #int_ (x = 1) ^ (x = e) (cos (v)) / (sqrt (1-sin ^ 2 (v))) "d" v = int_ (x = 1) ^ (x = e) "d" v # da # 1-sin ^ 2 (v) = cos ^ 2 (v) #.

Continuando, abbiamo

# V _ (x = 1) ^ (x = e) = arcsin (u) _ (x = 1) ^ (x = e) = arcsin (ln (x)) _ (x = 1) ^ (x = e) = arcsin (ln (e)) - arcsin (ln (1)) = pi / 2-0 = pi / 2 #