Dimostra per induzione che f (n) = 2 ^ (2n-1) + 3 ^ (2n-1) è divisibile per 5 per n in ZZ ^ +?

Risposta:

Vedi sotto.

Spiegazione:

Si noti che per # M # strano che abbiamo

# (a ^ m + b ^ m) / (a + b) = a ^ (m-1) -a ^ (m-2) b + a ^ (m-3) b ^ 2 + cdots -ab ^ (m -2) + b ^ (m-1) #

che dimostra l'affermazione.

Ora per induzione finita.

Per #n = 1 #

#2+3 = 5# che è divisibile.

ora supponendo che

# 2 ^ (2n-1) + 3 ^ (2n-1) # è divisibile che abbiamo

# 2 ^ (2 (n + 1) -1) + 3 ^ (2 (n + 1) -1) = 2 ^ (2n-1) 2 ^ 2 + 3 ^ (2n-1) 3 ^ 2 = #

# = 2 ^ (2n-1) 2 ^ 2 + 3 ^ (2n-1) 2 ^ 2 + 5 xx 3 ^ (2n-1) = #

# = 2 ^ 2 (2 ^ (2n-1) + 3 ^ (2n-1)) + 5 xx 3 ^ (2n-1) # che è divisibile per #5#

quindi è vero.