Esiste un modo sistematico per determinare il numero di numeri compresi tra 10 e, ad esempio, 50, divisibili in base alle cifre delle unità?

Risposta:

Il numero di numeri tra #10# e # # 10k divisibile per le loro unità, la cifra può essere rappresentata come

#sum_ (n = 1) ^ 9 fl ((k * gcd (n, 10)) / n) #

dove #fl (x) # rappresenta la funzione pavimento, mappatura #X# al più grande numero intero minore o uguale a #X#.

Spiegazione:

Questo equivale a chiedere quanti interi #un# e # B # esiste dove # 1 <= b <5 # e # 1 <= a <= 9 # e #un# divide # 10b + un #

Nota che #un# divide # 10b + a # se e solo se #un# divide # 10b #. Quindi, è sufficiente trovare quanti di questi # B #s esistono per ciascuno #un#. Inoltre, nota che #un# divide # 10b # se e solo se ogni fattore primo di #un# anche è un primo fattore di # 10b # con appropriata molteplicità.

Tutto ciò che rimane, quindi, è di passare attraverso ciascuno di essi #un#.

#a = 1 #: Poiché tutti gli interi sono divisibili per #1#, tutti e quattro i valori per # B # lavoro.

# A = 2 #: Come #10# è divisibile per #2#, tutti e quattro i valori per # B # lavoro.

# A = 3 #: Come #10# non è divisibile per #3#, noi dobbiamo avere # B # essere divisibile da #3#, questo è, # B = 3 #.

# A = 4 #: Come #10# è divisibile per #2#, noi dobbiamo avere # B # come divisibile da #2# avere la molteplicità appropriata. Così, # B = 2 # o # B = 4 #.

# A = 5 #: Come #10# è divisibile per #5#, tutti e quattro i valori per # B # lavoro.

# A = 6 #: Come #10# è divisibile per #2#, noi dobbiamo avere # B # come divisibile da #3#, questo è, # B = 3 #.

# A = 7 #: Come #10# non è divisibile per #7#, noi dobbiamo avere # B # come divisibile da #7#. Ma #b <5 #e quindi nessun valore per # B # lavori.

# A = 8 #: Come #10# è divisibile per #2#, noi dobbiamo avere # B # come divisibile da #4#, questo è, # B = 4 #

# A = 9: # Come #10# non è divisibile per #3#, noi dobbiamo avere # B # come divisibile da #3^2#. Ma #b <5 #e quindi nessun valore per # B # lavori.

Questo conclude ogni caso, e così, sommandoli, otteniamo, come concluso nella domanda, #17# valori. Questo metodo può essere facilmente esteso a valori maggiori, tuttavia. Ad esempio, se volessimo andare da #10# a #1000#, limiteremmo # 1 <= b <100 #. Quindi, guardando # A = 6 #, per esempio, avremmo #2# divide #10# e quindi #6# divide # 10b # se e solo se #3# divide # B #. Ci sono #33# multipli di #3# nell'intervallo per # B #, e quindi #33# numeri che finiscono #6# e sono divisibili per #6# fra #10# e #1000#.

In una notazione più breve, più facile da calcolare, utilizzando le osservazioni sopra, possiamo scrivere il numero di interi tra #10# e # # 10k come

#sum_ (n = 1) ^ 9 fl (k / (n / gcd (n, 10))) = sum_ (n = 1) ^ 9 fl ((k * gcd (n, 10)) / n) #

dove #fl (x) # rappresenta la funzione pavimento, mappatura #X# al più grande numero intero minore o uguale a #X#.