Risposta:
Perché la terza parte sia la più corta, abbiamo bisogno # (1 + sqrt2) | b |> ABSA> ABSB # (e quello #un# e # B # avere lo stesso segno).
Spiegazione:
Il lato più lungo di un triangolo rettangolo è sempre l'ipotenusa. Quindi sappiamo che la lunghezza dell'ipotenusa è # A ^ 2 + b ^ 2 #
Lascia che sia la lunghezza del lato sconosciuto # C. # Quindi dal teorema di Pitagora, lo sappiamo
# (2 bis ter) ^ 2 + c ^ 2 = (a ^ 2 + b ^ 2) ^ 2 #
o
# c = sqrt ((a ^ 2 + b ^ 2) ^ 2- (2 bis ter) ^ 2) #
#color (bianco) c = sqrt (a ^ 4 + 2a 2b ^ ^ 2 + b ^ 4-4a ^ 2b ^ 2) #
#color (bianco) c = sqrt (a ^ 4-2a ^ 2b ^ 2 + b ^ 4) #
#color (bianco) c = sqrt ((a ^ 2-b ^ 2) ^ 2) #
#color (bianco) c = a ^ 2-b ^ 2 #
Richiediamo inoltre che tutte le lunghezze laterali siano positive, quindi
- # A ^ 2 + b ^ 2> 0 #
# => a! = 0 o b! = 0 #
- # 2 bis ter> 0 #
# => a, b> 0 o a, b <0 #
- # C = a ^ 2-b ^ 2> 0 #
# <=> A ^ 2> b ^ 2 #
# <=> ABSA> ABSB #
Ora, per qualunque triangolo, il lato più lungo dovere essere più corto del somma degli altri due lati. Quindi abbiamo:
#color (bianco) (=>) 2ab + "" c colore (bianco) (XX)> a ^ 2 + b ^ 2 #
# => 2ab + (a ^ 2-b ^ 2)> a ^ 2 + b ^ 2 #
# => 2ab colore (bianco) (XXXXXX)> 2b ^ 2 #
# => {(a> b "," if b> 0), (a <b "," if b <0):} #
Inoltre, per il terzo lato è il più piccolo, # a ^ 2-b ^ 2 <2ab #
o # a ^ 2-2ab + b ^ 2 <2b ^ 2 # o # a-b <sqrt2b # o #a <b (1 + sqrt2) #
Combinando tutte queste restrizioni, possiamo dedurre che per rendere la terza parte più corta, dobbiamo avere # (1 + sqrt2) | b |> absa> absb e (a, b <0 o a, b> 0). #
