Quali sono i punti estremi e di sella di f (x, y) = 2x ^ 3 + xy ^ 2 + 5x ^ 2 + y ^ 2?

Risposta:

# {: ("Punto critico", "Conclusione"), ((0,0), "min"), ((-1, -2), "sella"), ((-1,2), "sella" "), ((-5 / 3,0)," max "):} #

Spiegazione:

La teoria per identificare gli estremi di # Z = f (x, y) # è:

Risolvi simultaneamente le equazioni critiche

# (partial f) / (partial x) = (partial f) / (partial y) = 0 # (vale a dire # Z_x = z_y = 0 #)
Valutare #f_ (x x), f_ (yy) e f_ (xy) (= f_ (yx)) # in ciascuno di questi punti critici. Quindi valutare # Delta = f_ (x x) f_ (yy) -f_ (xy) ^ 2 # in ciascuno di questi punti
Determina la natura degli estremi;

# {: (Delta> 0, "C'è un minimo se" f_ (xx) <0), (, "e un massimo se" f_ (yy)> 0), (Delta <0, "c'è un punto di sella"), (Delta = 0, "Sono necessarie ulteriori analisi"):} #

Quindi abbiamo:

# f (x, y) = 2x ^ 3 + xy ^ 2 + 5x ^ 2 + y ^ 2 #

Cerchiamo di trovare le prime derivate parziali:

# (parziale f) / (parziale x) = 6x ^ 2 + y ^ 2 + 10x #

# (parziale f) / (parziale y) = 2xy + 2y #

Quindi le nostre equazioni critiche sono:

# 6x ^ 2 + y ^ 2 + 10x = 0 #

# 2xy + 2y = 0 #

Dalla seconda equazione abbiamo:

# 2y (x + 1) = 0 => x = -1, y = 0 #

sottotitoli # x = -1 # nella prima equazione e otteniamo:

# 6 + y ^ 2-10 = 0 => y ^ 2 = 4 => y = + - 2 #

sottotitoli # Y = 0 # nella prima equazione e otteniamo:

# 6x ^ 2 + 0 ^ 2 + 10x = 0 => 2x (3x + 5) = 0 => x = -5 / 3,0 #

E così abbiamo quattro punti critici con coordinate;

# (-1,-2), (-1,2), (0,0), (-5/3,0) #

Quindi, ora esaminiamo le seconde derivate parziali in modo da poter determinare la natura dei punti critici:

# (partial ^ 2f) / (partial x ^ 2) = 12x + 10 #

# (partial ^ 2f) / (partial y ^ 2) = 2x + 2 #

# (partial ^ 2f) / (partial x partial y) = 2y (= (partial ^ 2f) / (partial y partial x)) #

E dobbiamo calcolare:

# Delta = (parziale ^ 2f) / (parziale x ^ 2) (parziale ^ 2f) / (parziale y ^ 2) - ((parziale ^ 2f) / (parziale x parziale y)) ^ 2 #

ad ogni punto critico. I secondi valori derivati parziali, #Delta#e le conclusioni sono le seguenti:

# {: ("Punto critico", (parziale ^ 2f) / (parziale x ^ 2), (parziale ^ 2f) / (parziale y ^ 2), (parziale ^ 2f) / (parziale x parziale y), Delta, "Conclusione"), ((0,0), 10,2,0, gt 0, f_ (xx)> 0 => "min"), ((-1, -2), - 2,0,4, lt 0, "sella"), ((-1,2), - 2,0,4, lt 0, "sella"), ((-5 / 3,0), - 10, -4 / 3,0, gt 0, f_ (xx) <0 => "max"):} #

Possiamo vedere questi punti critici se osserviamo una trama 3D: