Quali sono gli estremi di f (x) = 3x-1 / sinx su [pi / 2, (3pi) / 4]?

Risposta:

Il minimo assoluto sul dominio si verifica a ca. # (pi / 2, 3.7124) #e il massimo assoluto sul dominio si verifica a ca. # (3pi / 4, 5.6544) #. Non ci sono estremi locali.

Spiegazione:

Prima di iniziare, ci conviene analizzare e vedere se #sin x # assume un valore di #0# in qualsiasi momento dell'intervallo. #sin x # è zero per tutto x tale che #x = npi #. # Pi / 2 # e # 3pi / 4 # sono entrambi meno di #pi# e più grande di # 0pi = 0 #; in tal modo, #sin x # non assume un valore di zero qui.

Per determinare questo, ricorda che un estremo si verifica o dove #f '(x) = 0 # (punti critici) o in uno degli endpoint. Tenendo presente questo, prendiamo la derivata della precedente f (x), e troviamo i punti in cui questa derivata è uguale a 0

# (df) / dx = d / dx (3x) - d / dx (1 / sin x) = 3 - d / dx (1 / sinx) #

Come dovremmo risolvere questo ultimo termine?

Considera brevemente il regola reciproca, che è stato sviluppato per gestire situazioni come il nostro ultimo mandato qui, # d / (dx) (1 / sin x) #. La regola reciproca ci consente di bypassare direttamente utilizzando la regola della catena o del quoziente affermando che viene data una funzione differenziabile #G (x) #:

# d / dx 1 / g (x) = (-g '(x)) / ((g (x)) ^ 2 #

quando #g (x)! = 0 #

Ritornando alla nostra equazione principale, abbiamo interrotto;

# 3 - d / dx (1 / sin x) #.

Da #sin (x) # è differenziabile, possiamo applicare la regola reciproca qui:

# 3 - d / dx (1 / sin x) = 3 - (-cos x) / sin ^ 2x #

Impostando questo uguale a 0, arriviamo a:

# 3 + cos x / sin ^ 2x = 0. #

Questo può accadere solo quando #cos x / sin ^ 2 x = -3. #. Da qui può essere necessario utilizzare una delle definizioni trigonometriche, in particolare # sin ^ 2x = 1 - cos ^ 2 x #

# cosx / sin ^ 2x = -3 => cosx / (1-cos ^ 2x) = -3 => cos x = -3 + 3cos ^ 2x => 3cos ^ 2x - cos x - 3 = 0 #

Questo assomiglia ad un polinomio, con #cos x # sostituendo la nostra tradizionale x. Quindi, dichiariamo #cos x = u # e…

# 3u ^ 2 - u - 3 = 0 = au ^ 2 + bu + c #. Usando la formula quadratica qui …

# (1 + - sqrt (1 - 4 (-9))) / 6 = (1 + - sqrt 37) / 6 #

Le nostre radici si verificano a #u = (1 + -sqrt37) / 6 # secondo questo. Tuttavia, una di queste radici (# (1 + sqrt37) / 6 #) non può essere una radice per #cos x # perché la radice è maggiore di 1, e # -1 <= cosx <= 1 # per tutti x. La nostra seconda radice, d'altra parte, calcola come approssimativamente #-.847127#. Tuttavia, questo è inferiore al valore minimo il #cos x # la funzione può nell'intervallo (da #cos (3pi / 4) = -1 / sqrt 2) = -.707 <-.847127 #. Così, non c'è alcun punto critico nel dominio.

Tenendo presente questo, dobbiamo tornare ai nostri endpoint e inserirli nella funzione originale. Facendolo, otteniamo #f (pi / 2) circa 3.7124, f (3pi / 4) circa 5.6544 #

Quindi, il nostro minimo assoluto nel dominio è approssimativamente # (pi / 2, 3.7124), # e il nostro massimo è approssimativamente # (3pi / 4, 5.6544) #