Il triangolo A ha un'area di 9 e due lati di lunghezza 6 e 9. Il triangolo B è simile al triangolo A e ha un lato di lunghezza 12. Quali sono le aree massime e minime possibili del triangolo B?

Risposta:

min # = frac {144 (13 -8 sqrt {2})} {41} approx 5.922584784 … #

Max # = frac {144 (13 + 8 sqrt {2})} {41} approx 85.39448839 … #

Spiegazione:

Dato:

# Area _ { triangleA} = 9 #

Lunghezze laterali di # triangleA # siamo # X, Y, Z #

# X = 6, Y = 9 #

Lunghezze laterali di # triangleB # siamo # U, V, W #

#U = 12 #

# triangle A text {similar} triangle B #

prima risolvi # Z #:

usa la formula di Heron: # A = sqrt {S (S-A) (S-B) (S-C) # dove # S = frac {A + B + C} {2} #, area secondaria 9 e lunghezza laterale 6 e 9.

# S = frac {15 + z} {2} #

# 9 = sqrt {(frac {15 + Z} {2}) (frac {Z + 3} {2}) (frac {Z - 3} {2}) (frac {15 - z} { 2}) #

# 81 = frac {(225-Z ^ 2) (Z ^ 2 - 9)} {16} #

# 1296 = -Z ^ 4 + 234Z ^ 2-2025 #

# -Z ^ 4 + 234Z ^ 2-3321 = 0 #

Permettere # u = Z ^ 2 #, # -u ^ 2 + 234u-3321 = 0 #

usa la formula quadratica

# u = frac {-b pm sqrt {b ^ 2-4ac}} {2a} #

# u = 9 (13-8 sqrt {2}), u = 9 (8 sqrt {2} +13) #

# Z = sqrt {u} # Rifiuta le soluzioni negative come # Z> 0 #

# Z = 3 sqrt {13-8 sqrt {2}}, Z = 3 sqrt {8 sqrt {2} +13} #

così # Z approx 3.895718613 # e # 14.79267983 # rispettivamente

# perché triangle A text {similar} triangle B, Area _ { triangle B} = k ^ 2 * Area _ { triangleA} # dove #K# è il fattore di ridimensionamento

# k = 12 / s # dove disposto in ordine crescente: #s in {3 sqrt {13-8 sqrt {2}}, 6, 9,3 sqrt {8 sqrt {2} +13}} #

o in forma decimale: #s in {3.895718613, 6, 9,14.79267983} #

Maggiore è il valore di #S#, minore è l'area e minore è il valore di #S#, maggiore è l'Area,

Pertanto, per ridurre al minimo l'Area scegliere # s = 3 sqrt {13-8 sqrt {2}} #

e per massimizzare l'Area scegliere # s = 3 sqrt {8 sqrt {2} +13} #

Quindi, Area minima # = 9 * frac {12} {3 sqrt {8 sqrt {2} +13}} ^ 2 #

# = frac {144 (13 -8 sqrt {2})} {41} approx 5.922584784 … #

e l'area massima # = 9 * frac {12} {3 sqrt {13-8 sqrt {2}}} ^ 2 #

# = frac {144 (13 + 8 sqrt {2})} {41} approx 85.39448839 … #

Il triangolo A ha un'area di 12 e due lati di lunghezza 3 e 8. Il triangolo B è simile al triangolo A e ha un lato di lunghezza 9. Quali sono le aree massime e minime possibili del triangolo B?

Area massima possibile del triangolo B = 108 Area minima possibile del triangolo B = 15.1875 Delta s A e B sono simili. Per ottenere l'area massima di Delta B, il lato 9 di Delta B dovrebbe corrispondere al lato 3 di Delta A. I lati sono nel rapporto 9: 3 Quindi le aree saranno nel rapporto di 9 ^ 2: 3 ^ 2 = 81: 9 Area massima del triangolo B = (12 * 81) / 9 = 108 Analogamente per ottenere l'area minima, il lato 8 del Delta A corrisponderà al lato 9 del Delta B. I lati sono nel rapporto 9: 8 e nelle aree 81: 64 Area minima di Delta B = (12 * 81) / 64 = 15.1875

Il triangolo A ha un'area di 12 e due lati di lunghezza 3 e 8. Il triangolo B è simile al triangolo A e ha un lato di lunghezza 15. Quali sono le aree massime e minime possibili del triangolo B?

L'area massima possibile del triangolo B è 300 sq.unit L'area minima possibile del triangolo B è 36.99 sq.unit L'area del triangolo A è a_A = 12 L'angolo compreso tra i lati x = 8 e z = 3 è (x * z * sin Y) / 2 = a_A o (8 * 3 * sin Y) / 2 = 12:. sin Y = 1:. / _Y = sin ^ -1 (1) = 90 ^ 0 Pertanto, l'angolo incluso tra i lati x = 8 e z = 3 è 90 ^ 0 lato y = sqrt (8 ^ 2 + 3 ^ 2) = sqrt 73. Per il massimo area nel triangolo B Lato z_1 = 15 corrisponde al lato più basso z = 3 Quindi x_1 = 15/3 * 8 = 40 e y_1 = 15/3 * sqrt 73 = 5 sqrt 73 L'area massima possibile sarà (x_1

Il triangolo A ha un'area di 12 e due lati di lunghezza 4 e 8. Il triangolo B è simile al triangolo A e ha un lato di lunghezza 7. Quali sono le aree massime e minime possibili del triangolo B?

A_ "Bmin" ~~ 4.8 A_ "Bmax" = 36.75 Per prima cosa devi trovare le lunghezze laterali per il triangolo di dimensione massima A, quando il lato più lungo è maggiore di 4 e 8 e il triangolo di dimensioni minime, quando 8 è il lato più lungo. Per fare ciò usa la formula Area di Heron: s = (a + b + c) / 2 dove a, b, & c sono le lunghezze laterali del triangolo: A = sqrt (s (sa) (sb) (sc)) Lasciate a = 8, b = 4 "&" c "sono lunghezze del lato sconosciuto" s = (12 + c) / 2 = 6 + 1 / 2c A_A = 12 = sqrt ((6 + 1 / 2c) (6 + 1 / 2c-4) (6 + 1 / 2c-8) (6 + 1 / 2c-c)