Sia RR l'insieme di numeri reali. Trova tutte le funzioni f: RR-> RR, soddisfacendo abs (f (x) - f (y)) = 2 abs (x-y) per tutti x, y appartiene a RR.?

Sia RR l'insieme di numeri reali. Trova tutte le funzioni f: RR-> RR, soddisfacendo abs (f (x) - f (y)) = 2 abs (x-y) per tutti x, y appartiene a RR.?
Anonim

Risposta:

#f (x) = pm 2 x + C_0 #

Spiegazione:

Se #abs (f (x) -f (y)) = 2abs (x-y) # poi #f (x) # è Lipschitz continua. Quindi la funzione #f (x) # è differenziabile. Poi seguendo, #abs (f (x) -f (y)) / (abs (x-y)) = 2 # o

#abs ((f (x) -f (y)) / (x-y)) = 2 # adesso

#lim_ (x-> y) abs ((f (x) -f (y)) / (xy)) = abs (lim_ (x-> y) (f (x) -f (y)) / (xy)) = abs (f '(y)) = 2 #

così

#f (x) = pm 2 x + C_0 #