La funzione 3x ^ (3) + 6x ^ (2) + 6x + 10 è maxima, minima o punto di inflessione?

Risposta:

Nessun minuto o massimo
Punto di flesso a #x = -2 / 3 #.

grafico {3x ^ 3 + 6x ^ 2 + 6x + 10 -10, 10, -10, 20}

Spiegazione:

Minuti e Max

Per una data #X#-valore (chiamiamolo # C #) per essere un massimo o un minimo per una data funzione, deve soddisfare quanto segue:

#f '(c) = 0 # o indefinito.

Questi valori di # C # sono anche chiamati i tuoi punti critici.

Nota: non tutti i punti critici sono max / min, ma tutti i max / min sono punti critici

Quindi, troviamoli per la tua funzione:

#f '(x) = 0 #

# => d / dx (3x ^ 3 + 6x ^ 2 + 6x + 10) = 0 #

# => 9x ^ 2 + 12x + 6 = 0 #

Questo non ha importanza, quindi proviamo la formula quadratica:

#x = (-12 + - sqrt (12 ^ 2 - 4 (9) (6))) / (2 (9)) #

# => (-12 + -sqrt (-72)) / 18 #

… e possiamo fermarci proprio lì. Come puoi vedere, finiamo per avere un numero negativo sotto la radice quadrata. Quindi, ci sono nessun vero punto critico per questa funzione.

Punti di flessione

Ora, troviamo i punti di flessione. Questi sono punti in cui il grafico ha una variazione di concavità (o curvatura). Per un punto (chiamalo # C #) per essere un punto di inflessione, deve soddisfare quanto segue:

#f '' (c) = 0 #.

Nota: non tutti questi punti sono punti di inflessione, ma tutti i punti di inflessione devono soddisfare questo.

Quindi cerchiamo questi:

#f '' (x) = 0 #

# => d / dx (d / dx (3x ^ 3 + 6x ^ 2 + 6x + 10)) = 0 #

# => d / dx (9x ^ 2 + 12x + 6 = 0) #

# => 18x + 12 = 0 #

# => x = -12/18 = -2 / 3 #

Ora, dobbiamo verificare se questo è in effetti un punto di flesso. Quindi dovremo verificarlo #f '' (x) # in effetti passa a #x = -2 / 3 #.

Quindi testiamo i valori a destra e a sinistra di #x = -2 / 3 #:

Destra:

#x = 0 #

#f '' (0) = 12 #

Sinistra:

# x = -1 #

#f '' (- 1) = -6 #

Non ci interessa tanto i valori effettivi, ma come possiamo vedere chiaramente, c'è un numero positivo alla destra di #x = -2 / 3 #e un numero negativo a sinistra di #x = -2 / 3 #. Quindi, è davvero un punto di inflessione.

Riassumere, #f (x) # non ha punti critici (o minimi o massimi), ma ha un punto di inflessione a #x = -2 / 3 #.

Diamo un'occhiata al grafico di #f (x) # e vedi cosa significano questi risultati:

grafico {3x ^ 3 + 6x ^ 2 + 6x + 10 -10, 10, -10, 20}

Questo grafico sta aumentando ovunque, quindi non ha alcun luogo in cui la derivata = 0. Tuttavia, passa da curvo in basso (concavo verso il basso) a curvo verso l'alto (concavo verso l'alto) a #x = -2 / 3 #.

Spero che questo abbia aiutato:)