L'altezza di un triangolo aumenta ad una velocità di 1,5 cm / min mentre l'area del triangolo aumenta ad una velocità di 5 cm / min. A che velocità cambia la base del triangolo quando l'altitudine è di 9 cm e l'area è di 81 cm quadrati?

Questo è un problema di tipo relativo ai tassi (di cambiamento).

Le variabili di interesse sono

#un# = altitudine

#UN# = area e, poiché l'area di un triangolo è # A = 1 / 2ba #, abbiamo bisogno

# B # = base

I tassi di variazione dati sono espressi in unità al minuto, quindi la variabile indipendente (invisibile) è # T # = tempo in minuti.

Ci viene dato:

# (da) / dt = 3/2 # cm / min

# (dA) / dt = 5 # centimetro#''^2#/ min

E ci viene chiesto di trovare # (Db) / dt # quando #a = 9 # cm e #A = 81 #centimetro#''^2#

# A = 1 / 2ba #, differenziando rispetto a # T #, noi abbiamo:

# D / dt (A) = d / dt (1 / 2ba) #.

Avremo bisogno della regola del prodotto sulla destra.

# (dA) / dt = 1/2 (db) / dt a + 1 / 2b (da) / dt #

Ci è stato dato ogni valore tranne # (Db) / dt # (che stiamo cercando di trovare) e # B #. Usando la formula per l'area e i valori dati di #un# e #UN#, possiamo vederlo # B = 18 #centimetro.

sostituendo:

# 5 = 1/2 (db) / dt (9) +1/2 (18) 3/2 #

Risolvere per # (db) / dt = -17 / 9 #cm / min.

La base sta diminuendo a #17/9# cm / min.

La base di un triangolo di una data area varia inversamente come l'altezza. Un triangolo ha una base di 18 cm e un'altezza di 10 cm. Come trovi l'altezza di un triangolo di area uguale e con base di 15 cm?

Altezza = 12 cm L'area di un triangolo può essere determinata con l'area dell'equazione = 1/2 * base * altezza Trova l'area del primo triangolo, sostituendo le misure del triangolo nell'equazione. Areatriangle = 1/2 * 18 * 10 = 90cm ^ 2 Lascia che l'altezza del secondo triangolo = x. Quindi l'equazione di area per il secondo triangolo = 1/2 * 15 * x Poiché le aree sono uguali, 90 = 1/2 * 15 * x volte entrambi i lati di 2. 180 = 15x x = 12

L'acqua esce da una vasca conica rovesciata ad una velocità di 10.000 cm3 / min, allo stesso tempo l'acqua viene pompata nel serbatoio ad una velocità costante Se il serbatoio ha un'altezza di 6 metri e il diametro nella parte superiore è 4 metri e se il livello dell'acqua aumenta di 20 cm / min quando l'altezza dell'acqua è di 2 metri, come si trova la velocità con cui viene pompata l'acqua nel serbatoio?

Sia V il volume d'acqua nel serbatoio, in cm ^ 3; sia la profondità / altezza dell'acqua, in cm; e sia r il raggio della superficie dell'acqua (in alto), in cm. Poiché il serbatoio è un cono invertito, lo è anche la massa d'acqua. Dato che il serbatoio ha un'altezza di 6 me un raggio nella parte superiore di 2 m, triangoli simili implicano che frac {h} {r} = frac {6} {2} = 3 in modo che h = 3r. Il volume del cono invertito dell'acqua è quindi V = frac {1} {3} pi r ^ {2} h = pi r ^ {3}. Ora differenziate entrambi i lati rispetto al tempo t (in minuti) per ottenere frac {dV} {

Qual è il tasso di variazione della larghezza (in ft / sec) quando l'altezza è di 10 piedi, se l'altezza diminuisce in quel momento al ritmo di 1 ft / sec. Un rettangolo ha un'altezza variabile e una larghezza variabile , ma l'altezza e la larghezza cambiano in modo che l'area del rettangolo sia sempre di 60 piedi quadrati?

La velocità di variazione della larghezza con il tempo (dW) / (dt) = 0.6 "ft / s" (dW) / (dt) = (dW) / (dh) xx (dh) / dt (dh) / (dt ) = - 1 "ft / s" Quindi (dW) / (dt) = (dW) / (dh) xx-1 = - (dW) / (dh) Wxxh = 60 W = 60 / h (dW) / ( dh) = - (60) / (h ^ 2) Quindi (dW) / (dt) = - (- (60) / (h ^ 2)) = (60) / (h ^ 2) Quindi quando h = 10 : rArr (dW) / (dt) = (60) / (10 ^ 2) = 0,6 "ft / s"