Una coppia di bei dadi a sei facce viene lanciata otto volte. Trova la probabilità che un punteggio superiore a 7 non sia segnato più di cinque volte?

Risposta:

#~=0.9391#

Spiegazione:

Prima di entrare nella domanda stessa, parliamo del metodo per risolverlo.

Diciamo, per esempio, che voglio rendere conto di tutti i possibili risultati lanciando una moneta buona tre volte. Posso ottenere HHH, TTT, TTH e HHT.

La probabilità di H è #1/2# e anche la probabilità di T è #1/2#.

Per HHH e per TTT, cioè # 1 / 2xx1 / 2xx1 / 2 = 1/8 # ogni.

Anche per TTH e HHT, lo è # 1 / 2xx1 / 2xx1 / 2 = 1/8 # ciascuno, ma poiché ci sono 3 modi in cui posso ottenere ogni risultato, finisce per essere # 3xx1 / 8 = 3/8 # ogni.

Quando riassumo questi risultati, ottengo #1/8+3/8+3/8+1/8=1# - il che significa che ora ho tutti i possibili risultati del coin flip.

Notare che se ho impostato # H # essere # P # e quindi hanno # T # essere # ~ P #e notiamo anche che abbiamo una linea dal triangolo di Pascal #(1,3,3,1)#, abbiamo impostato una forma di:

#sum_ (k = 0) ^ (n) C_ (n, k) (p) ^ k ((~ p) ^ (n-k)) #

e così in questo esempio, otteniamo:

# = C_ (3,0) (1/2) ^ 0 (1/2) ^ 3 + C_ (3,1) (1/2) ^ 1 (1/2) ^ 2 + C_ (3,2) (1/2) ^ 2 (1/2) ^ 1 + C_ (3,3) (1/2) ^ 3 (1/2) ^ 0 #

#=1(1)(1/8)+3(1/2)(1/4)+3(1/4)(1/2)+1(1/8)(1)#

#=1/8+3/8+3/8+1/8=1#

Ora possiamo fare il problema.

Ci viene dato il numero di tiri come 8, quindi # N = 8 #.

# P # è la somma maggiore di 7. Per trovare la probabilità di ottenere una somma superiore a 7, diamo un'occhiata ai possibili lanci:

# ((Colore (bianco) (0), UL1, UL2, UL3, UL4, ul5, SS6), (1 |, 2,3,4,5,6,7), (2 |, 3,4,5, 6,7,8), (3 |, 4,5,6,7,8,9), (4 |, 5,6,7,8,9,10), (5 |, 6,7, 8,9,10,11), (6 |, 7,8,9,10,11,12)) #

Su 36 possibilità, 15 rotoli danno una somma superiore a 36, dando una probabilità di #15/36=5/12#.

Con # p = 5/12, ~ p = 7/12 #

Possiamo scrivere l'intera somma di possibilità - dall'ottenere che tutti gli 8 rotoli siano una somma maggiore di 7 fino a ottenere tutti gli 8 rulli con una somma di 7 o meno:

# = C_ (8,0) (5/12) ^ 8 (7/12) ^ 0 + C_ (8,1) (5/12) ^ 7 (7/12) ^ 1 + C_ (8,2) (5/12) ^ 6 (7/12) ^ 2 + C_ (8,3) (5/12) ^ 5 (7/12) ^ 3 + C_ (8,4) (5/12) ^ 4 (7/12) ^ 4 + C_ (8,5) (5/12) ^ 3 (7/12) ^ 5 + C_ (8,6) (5/12) ^ 2 (7/12) ^ 6 + C_ (8,7) (5/12) 1 ^ (7/12) ^ 7 + C_ (8,8) (5/12) ^ 0 (7/12) ^ 8 = 1 #

ma siamo interessati a riassumere solo quei termini che hanno la nostra somma maggiore di 7 che si verificano 5 volte o meno:

# = C_ (8,3) (5/12) ^ 5 (7/12) ^ 3 + C_ (8,4) (5/12) ^ 4 (7/12) ^ 4 + C_ (8,5) (5/12) ^ 3 (7/12) ^ 5 + C_ (8,6) (5/12) ^ 2 (7/12) ^ 6 + C_ (8,7) (5/12) ^ 1 (7/12) ^ 7 + C_ (8,8) (5/12) ^ 0 (7/12) ^ 8 #

#~=0.9391#

Risposta:

#0.93906#

Spiegazione:

# "Quindi P risultato> 7 = 15/36 = 5/12" #

#P "si verifica k volte su 8 tiri" = C (8, k) (5/12) ^ k (7/12) ^ (8-k) "#

#"(distribuzione binomiale)"#

# "con" C (n, k) = (n!) / ((n-k)! k!) "(combinazioni)" #

#"Così, "#

#P "si verifica al massimo 5 volte su 8 tiri" #

# = 1 - P "si verifica 6, 7 o 8 volte su 8 tiri" #

# = 1-C (8,6) (5/12) ^ 6 (7/12) ^ 2-C (8,7) (5/12) ^ 7 (7/12) - (5/12) ^ 8 #

#= 1 - (5/12)^8 (1 + 8*(7/5) + 28*(7/5)^2)#

#= 1 - (5/12)^8 (1 + 11.2 + 54.88) = 1 - (5/12)^8 (67.08)#

#= 0.93906#