Risposta:
Fare riferimento alla spiegazione
Spiegazione:
È facile vederlo
# X ^ 4-18x ^ 2 + 81 = (x ^ 2) ^ 2-2 * 9 * x ^ 2 + 9 ^ 2 = 0 => (x ^ 2-9) ^ 2 = 0 #
Quindi abbiamo questo # (x ^ 2-9) ^ 2 = 0 => x ^ 2-9 = 0 => x = 3 o x = -3 #
Sii consapevole delle tue radici # X_1 = 3, x_2 = -3 # avere molteplicità di #2#
perché abbiamo un polinomio di quarto grado.
Risposta:
#x = + -3 #
Spiegazione:
Normalmente, per risolvere un polinomio di grado 4 come quello qui, devi fare una divisione sintetica e usare un sacco di teoremi e regole - diventa piuttosto disordinato. Tuttavia, questo è speciale perché possiamo effettivamente renderlo un'equazione quadratica.
Lo facciamo lasciando #u = x ^ 2 #. Non preoccuparti di dove # U # venire da; è solo qualcosa che stiamo usando per semplificare il problema. Con #u = x ^ 2 #, il problema diventa
# u ^ 2-18u + 81 = 0 #.
Non sembra migliore? Ora abbiamo a che fare con un'equazione quadratica piacevole e facile. In realtà, questo è un quadrato perfetto; in altre parole, quando lo fai, ottieni # (U-9) ^ 2 #. Ovviamente, potremmo usare la formula quadratica o completare il quadrato per risolvere questa equazione, ma di solito non sei abbastanza fortunato da avere un quadrato quadratico perfetto - quindi approfittane. A questo punto, abbiamo:
# (u-9) ^ 2 = 0 #
Per risolvere, prendiamo la radice quadrata di entrambi i lati:
#sqrt ((u-9) ^ 2) = sqrt (0) #
E questo semplifica
# u-9 = 0 #
Infine, aggiungiamo 9 a entrambi i lati per ottenere
#u = 9 #
Eccezionale! Quasi lì. Tuttavia, il nostro problema originale ha #X#s in esso e la nostra risposta ha a # U # dentro. Dobbiamo convertire #u = 9 # in #x = # qualcosa. Ma non aver paura! Ricorda all'inizio abbiamo detto lasciare #u = x ^ 2 #? Bene, ora che abbiamo il nostro # U #, lo ricolleghiamo per trovare il nostro #X#. Così, #u = x ^ 2 #
# 9 = x ^ 2 #
#sqrt (9) = x #
#x = + -3 # (perché #(-3)^2 = 9# e #(3)^2 = 9#)
Pertanto, le nostre soluzioni sono #x = 3 # e #x = -3 #. Nota che #x = 3 # e #x = -3 # sono doppie radici, quindi tecnicamente, tutte le radici sono #x = 3 #, #x = 3 #, #x = -3 #, #x = -3 #.
