Domanda n. 39008

Risposta:

Le dimensioni della scatola sono # 11,1 cm xx52cmxx6cm #, ma questa scatola esiste solo nella mia testa. Non esiste una scatola del genere nella realtà.

Spiegazione:

Aiuta sempre a disegnare un diagramma.

Originariamente, la scatola aveva dimensioni # L # (lunghezza, che non è noto) e # W # (larghezza, che non è anche nota). Tuttavia, quando tagliamo i quadrati di lunghezza #6#, otteniamo questo:

Se dovessimo piegare le aree rosse per formare i lati della scatola, la scatola avrebbe altezza #6#. La larghezza della scatola sarebbe # W-12 + 6 + 6 = w #e la lunghezza sarebbe # l-12 #. Sappiamo # V = LWH #, così:

# V = (l-12) (w) (6) #

Ma il problema dice che il volume è #3456#, così:

# 3456 = 6W (L-12) #

Ora abbiamo questo sistema:

# 1200 = lw "equazione 1" #

# 3456 = 6w (l-12) "equazione 2" #

Risolvere per # W # nell'equazione 1, abbiamo:

# W = 1200 / l #

Collegando questo per # W # nell'equazione 2, abbiamo:

# 3456 = 6W (L-12) #

# 3456 = 6 (1200 / l) (l-12) #

# 3456 = (7200 / l) (l-12) #

# 3456 = 7.200-86.400 / l #

# 86400 / l = 3744 #

# 86400 = 3744l-> l ~~ 23.1 # centimetro

Lo sappiamo # W = 1200 / l #e possiamo usarlo per risolvere la larghezza:

# W = 1200 / 23.1 ~~ 52 # centimetro

Si noti che queste sono le dimensioni sulla lamiera originale. Quando tiriamo fuori il #6# cm quadrati per formare la scatola, la lunghezza cambia di #12#. Quindi la lunghezza della scatola è #23.1-12=11.1# centimetro.

Quando controlli le dimensioni di # Lxxwxxh-> 11.1cmxx52cmxx6cm #, vedrai che il volume è leggermente diminuito a causa dell'arrotondamento.

# "Il volume della scatola" = 3456cm ^ 3 #

# "L'altezza della scatola" = 6 cm #

# "L'area di base della scatola" #

# = "Il suo volume" / "altezza" = 3456/6 = 576 cm ^ 2 #

Ora lascia che sia la lunghezza della scatola un cm e la sua larghezza sia B centimetro.

Poi # Ab = 576 ….. (1) #

Per mantenere il volume e l'altezza della scatola al valore dato area di base # # Axxb deve essere risolto a # 576 centimetri ^ 2 #

# "Ora area dei suoi 4 lati" #

# = 2 (a + b) 6 = 12 (a + b) cm ^ 2 #

Per costruire la scatola 4 quadrati di dimensione # (6xx6) cm ^ 2 # sono stati tagliati.

Così

# ab + 12 (a + b) + 4 * 6 * 6 = "Area del foglio" … (2) #

Ora vediamo cosa succede se proviamo a scoprirlo un e B usando l'equazione (1) e (2).

Combinando (1) e (2) otteniamo

# 576 + 12 (a + b) + 144 = "area foglio" = 1200 #

# => 12 (a + b) = 1200-576-144 = 480 #

# => A + b = 40 #

Ora sto cercando di scoprirlo # A-b #

# (A-b) ^ 2 = (a + b) ^ 2-4ab = 40 ^ 2-4 * 576 #

# => (A-b) ^ 2 = 1600-2304 <0 #

Questo dimostra che la soluzione reale non è possibile con l'area del foglio 1200cm ^ 2.

Ma una soluzione reale è possibile con un valore minimo del perimetro della base della scatola, ad es.# 2 (a + b) # cioè# A + b #

# "Ora" (a + b) = (sqrta-sqrtb) ^ 2 + 2sqrt (ab) #

per valori reali di un e B, # (A + b) # sarà minimo iff # (SQRTA-sqrtb) = 0 => a = b # #color (rosso) ("come" ab = "costante") #

Questo da # Axxb = 576 => a ^ 2 = 576 #

# => A = 24 centimetri #

e # B = 24 centimetri #

Quindi per relazione (2)

# "Area foglio" = ab + 12 (a + b) + 144 #

# = + 12 * 576 (24 + 24) + 144 = 1296 centimetri ^ 2 #

Ora con questa area di fogli di # 1296 centimetri ^ 2 # il problema può essere risolto.

E il dimensione della scatola allora sarà

# # 24cmxx24cmxx6cm