Quali sono gli estremi di f (x) = 3x ^ 2 - 12x + 13 su [-oo, oo]?

Risposta:

#f (x) # ha un minimo a # X = 2 #

Spiegazione:

Prima di procedere, nota che questa è una parabola rivolta verso l'alto, il che significa che possiamo sapere senza ulteriori calcoli che non avrà massimi e un minimo singolo al suo vertice. Completare la piazza ci mostrerebbe questo #f (x) = 3 (x-2) ^ 2 + 1 #, dando il vertice, e quindi l'unico minimo, a #x = 2 #. Vediamo come questo sarebbe stato fatto con il calcolo, però.

Qualsiasi estremo si verificherà in un punto critico o in un punto finale dell'intervallo specificato. Come il nostro intervallo dato di # (- oo, oo) # è aperto, possiamo ignorare la possibilità di endpoint e quindi identificheremo prima i punti critici della funzione, cioè il punto in cui la derivata della funzione è #0# o non esiste.

#f '(x) = d / dx (3x ^ 2-12x + 13) = 6x-12 #

Impostando questo uguale a #0#, troviamo un punto critico a # X = 2 #

# 6x-12 = 0 => x = 12/6 = 2 #

Ora, possiamo testare per vedere se è un extremum (e che tipo) controllando alcuni valori di # F # intorno a quel punto, o usando il secondo test derivativo. Usiamo il secondo.

# (d ^ 2x) / (dx ^ 2) = d / dx (6x-12) = 6 #

Come #f '' (2) = 6> 0 #, il secondo test derivativo ci dice che #f (x) # ha un minimo locale a # X = 2 #

Quindi, usando #f '(x) # e #f '' (x) #, lo troviamo #f (x) # ha un minimo a # X = 2 #, corrispondente al risultato che abbiamo trovato usando l'algebra.