Questa è una prova trigonometrica di un caso generalizzato, la domanda è nella casella dei dettagli?

Risposta:

La prova per induzione è sotto.

Spiegazione:

Dimostriamo questa identità per induzione.

A. Per # N = 1 # dobbiamo verificarlo

# (2cos (2theta) +1) / (2cos (theta) +1) = 2cos (theta) -1 #

Effettivamente, usando l'identità #cos (2theta) = 2cos ^ 2 (theta) -1 #, Lo vediamo

# 2cos (2theta) +1 = 2 (2cos ^ 2 (theta) -1) +1 = 4cos ^ 2 (theta) -1 = #

# = (2cos (theta) -1) * (2cos (theta) +1) #

da ciò che segue

# (2cos (2theta) +1) / (2cos (theta) +1) = 2cos (theta) -1 #

Quindi per # N = 1 # la nostra identità è vera.

B. Supponi che l'identità sia vera per # N #

Quindi, lo assumiamo

# (2cos (2 ^ ntheta) +1) / (2cos (theta) +1) = Pi _ (j in 0, n-1) 2cos (2 ^ jtheta) -1 #

(simbolo #Pi# è usato per prodotto)

C. Usando l'ipotesi B sopra, proviamo l'identità per # N + 1 #

Dobbiamo dimostrare che dall'assunzione B segue

# (2cos (2 ^ (n + 1) theta) +1) / (2cos (theta) +1) = Pi _ (j in 0, n) 2cos (2 ^ jtheta) -1 #

(nota che il limite giusto per un indice di moltiplicazione è # N # adesso).

PROVA

Usando un'identità #cos (2x) = 2cos ^ 2 (x) -1 # per # X = 2 ^ ntheta #, # 2cos (2 ^ (n + 1) theta) +1 = 2cos (2 * (2 ^ n * theta)) + 1 = #

# = 2 2cos ^ 2 (2 ^ ntheta) -1 +1 = #

# = 4cos ^ 2 (2 ^ ntheta) -1 = #

# = 2cos (2 ^ ntheta) -1 * 2cos (2 ^ ntheta) +1 #

Dividi le espressioni di inizio e fine di # 2cos (theta) +1 #, ottenendo

# 2cos (2 ^ (n + 1) theta) +1 / 2cos (theta) +1 = #

# = 2cos (2 ^ ntheta) -1 * 2cos (2 ^ ntheta) +1 / 2cos (theta) +1 #

Ora usiamo l'ipotesi B ottenendo

# 2cos (2 ^ (n + 1) theta) +1 / 2cos (theta) +1 = #

# = 2cos (2 ^ ntheta) -1 * Pi _ (j in 0, n-1) 2cos (2 ^ jtheta) -1 = #

# = Pi _ (j in 0, n) 2cos (2 ^ jtheta) -1 #

(notare che l'intervallo di un indice ora è esteso a # N #).

L'ultima formula è esattamente la stessa per # N + 1 # come originale è per # N #. Questo completa la prova per induzione che la nostra formula è vera per qualsiasi # N #.

Risposta:

Vedere la sezione Prova in Spiegazione di seguito.

Spiegazione:

Questo equivale a dimostrare che, # (2cosx + 1) (2cosx-1) (2cos2x-1) (2cos4x-1) … (2cos2 ^ (n-1) x-1) = (2cos2 ^ nx + 1) #

# "The L.H.S." = {(2cosx + 1) (2cosx-1)} (2cos2x-1) (2cos4x-1) … (2cos2 ^ (n-1) x-1) #

# = {4cos ^ 2x-1} (2cos2x-1) (2cos4x-1) … (2cos2 ^ (n-1) x-1) #

# = {4 ((1 + cos2x) / 2) -1} (2cos2x-1) (2cos4x-1) …. (2cos2 ^ (n-1) x-1) #

# = (2cos2x + 1) (2cos2x-1) (2cos4x-1) … (2cos2 ^ (n-1) x-1) #

# = (4cos ^ 2 (2x) -1) (2cos4x-1) … (2cos2 ^ (n-1) x-1) #

# = (2cos (2 * 2x) +1) (2cos4x-1) … (2cos2 ^ (n-1) x-1) #

# = (2cos4x + 1) (2cos4x-1) … (2cos2 ^ (n-1) x-1) #

# = (2cos8x + 1) … (2cos2 ^ (n-1) x-1) #

# # Vdots

# = {2cos (2 * 2 ^ (n-1) x) +1)} #

# = (2cos2 ^ nx + 1) #

# = "il R.H.S." #

Goditi la matematica!