Risposta:
# X = 9 #
Spiegazione:
Stiamo cercando il numero intero più grande in cui:
#f (x)> g (x) #
# 5x ^ 4 + 30x ^ 2 + 9> 3 ^ x #
Ci sono alcuni modi in cui possiamo farlo. Uno è semplicemente provare i numeri interi. Come base, proviamo # X = 0 #:
#5(0)^4+30(0)^2+9>3^0#
#0+0+9>1#
e così lo sappiamo #X# è almeno 0 quindi non è necessario testare numeri interi negativi.
Possiamo vedere che la più grande potenza a sinistra è 4. Proviamo # X = 4 # e vedi cosa succede:
#5(4)^4+30(4)^2+9>3^4#
#5(256)+30(4)^2+9>81#
Terrò fuori il resto della matematica: è chiaro che il lato sinistro è più grande di una quantità considerevole. Dunque proviamo # X = 10 #
#5(10)^4+30(10)^2+9>3^10#
#5(10000)+30(100)+9>59049#
#50000+3000+9>59049#
così # X = 10 # è troppo grande. Penso che la nostra risposta sarà 9. Controlliamo:
#5(6561)+30(81)+9>19683#
#32805+30(81)+9>19683#
e di nuovo è chiaro che il lato sinistro è più grande del destro. Quindi la nostra risposta finale è # X = 9 #.
Quali sono gli altri modi per trovare questo? Avremmo potuto provare a creare grafici. Se esprimiamo questo come # (5x ^ 4 + 30x ^ 2 + 9) -3 ^ x = 0 #, otteniamo un grafico simile al seguente:
graph {(5x ^ 4 + 30x ^ 2 + 9) -3 ^ x 0, 11, -10000, 20000}}
e possiamo vedere che i picchi di risposta attorno al # X = 8.5 # segno, è ancora positivo a # X = 9 # e diventa negativo prima di raggiungere # X = 10 # - fabbricazione # X = 9 # il più grande numero intero.
In quale altro modo potremmo farlo? Potremmo risolvere # (5x ^ 4 + 30x ^ 2 + 9) -3 ^ x> 0 # algebricamente.
# 5x ^ 4 + 30x ^ 2 + 9-3 ^ x> 0 #
Per semplificare i miei calcoli, prima noterò che i valori di #X# aumentare, i termini del lato sinistro iniziano a diventare irrilevanti. Prima il 9 diminuirà di significato finché non sarà completamente irrilevante, e lo stesso vale per il # 30x ^ 2 # termine. Quindi questo riduce a:
# 5x ^ 4> 3 ^ x #
#log (5x ^ 4)> log (3 ^ x) #
# 4log5x> xlog3 #
# 4log5 + 4logx> xlog3 #
# (4log5 + 4logx) / log3> x #
e penso che sto facendo un casino di questo! l'algebra non è un modo semplice per affrontare questo problema!
