Qual è la lunghezza della scala se una scala di lunghezza L è portata orizzontalmente dietro un angolo da un corridoio largo 3 piedi in una sala larga 4 piedi?

Prendi in considerazione un segmento di linea da cui partire # (X, 0) # a # (0, y) # attraverso l'angolo interno a #(4,3)#.

La lunghezza minima di questo segmento di linea sarà la lunghezza massima della scala che può essere manovrata attorno a quest'angolo.

Supporre che #X# è oltre #(4,0)# con qualche fattore di ridimensionamento, #S#, di 4, quindi

#x = 4 + 4s = 4 (1 + s) #

guarda per il # (1 + s) # presentarsi più tardi come valore da prendere in considerazione da qualcosa.

Con triangoli simili possiamo vederlo

#y = 3 (1 + 1 / s) #

Con il Teorema di Pitagora, possiamo esprimere il quadrato della lunghezza del segmento di linea in funzione di #S#

# L ^ 2 (s) = 3 ^ 2 (s ^ (- 2) + 2s ^ (- 1) + 1) + 4 ^ 2 (1 + 2s + s ^ 2) #

Normalmente prendiamo la derivata di L (s) per trovare il minimo ma in questo caso è più facile prendere la derivata di # L ^ 2 (s) #.

(Si noti che se #L (s) # è un minimo come # S = s_0 #, poi # L ^ 2 (s) # sarà anche un minimo a # S = s_0 #.)

Prendendo la prima derivata di # L ^ 2 (s) # e impostandolo su zero, otteniamo:

# 3 ^ 2 (-2s ^ (- 3) - 2s ^ (- 2)) + 4 ^ 2 (2 - 2s) = 0 #

Moltiplicando per # s ^ 3 # e poi fattorizzare # 2 (1 + s) #

ci permette di risolvere per #S#

# s = (3/4) ^ (2/3) #

Ricollegare questo valore all'equazione per # L ^ 2 (s) # e prendendo la radice quadrata (ho usato un foglio di calcolo), otteniamo

la lunghezza massima della scala # = 9,87 piedi # (Ca.)