Abbiamo:
# f (x, y) = xy + e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) #
Passaggio 2: identificare i punti critici
Un punto critico si verifica in una soluzione simultanea di
# f_x = f_y = 0 iff (partial f) / (partial x) = (partial f) / (partial y) = 0 #
cioè, quando:
# {: (f_x = y -2x e ^ (- x ^ 2-y ^ 2), = 0, … A), (f_y = x -2y e ^ (- x ^ 2-y ^ 2), = 0, … B):}} # contemporaneamente
Da cui possiamo stabilire:
# A => y -2x e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) = 0 => e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) = y / (2x) #
# B => x -2y e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) = 0 => e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) = x / (2y) #
Quindi richiediamo che:
# y / (2x) = x / (2y) #
#:. x ^ 2 = y ^ 2 #
Quindi abbiamo due soluzioni (piano infinito):
#:. x = + - y #
E così concludiamo che ci sono infiniti punti critici lungo l'intera lunghezza dell'intersezione della curva e dei due piani
Passaggio 3: classificare i punti critici
Per classificare i punti critici eseguiamo un test simile a quello di un calcolo variabile usando le seconde derivate parziali e la matrice hessiana.
# Delta = H f (x, y) = | (f_ (x x) f_ (xy)), (f_ (yx) f_ (yy)) | = | ((parziale ^ 2 f) / (parziale x ^ 2), (parziale ^ 2 f) / (parziale x parziale y)), ((parziale ^ 2 f) / (parziale y parziale x), (parziale ^ 2 f) / (parziale y ^ 2)) | #
# = f_ (x x) f_ (yy) - (f_ (xy)) ^ 2 #
Quindi a seconda del valore di
# {: (Delta> 0, "C'è il massimo se" f_ (xx) <0), (, "e un minimo se" f_ (xx)> 0), (Delta <0, "c'è un punto di sella"), (Delta = 0, "Sono necessarie ulteriori analisi"):} #
# Delta = {-2e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) + 4x ^ 2e ^ (- x ^ 2-y ^ 2)} {- 2e ^ (- x ^ 2-y ^ 2) + 4y ^ 2e ^ (- x ^ 2-y ^ 2)} - {1 + 4xye ^ (- x ^ 2-y ^ 2)} ^ 2 #
# = e ^ (- 2 (x ^ 2 + y ^ 2)) (-8 xye ^ (x ^ 2 + y ^ 2) - e ^ (2 (x ^ 2 + y ^ 2)) - 8 x ^ 2 - 8 y ^ 2 + 4) #
Dobbiamo considerare il segno di
# Delta '= -8 x y e ^ (x ^ 2 + y ^ 2) - e ^ (2 (x ^ 2 + y ^ 2)) - 8 x ^ 2 - 8 y ^ 2 + 4 #
Quindi, a seconda del segno
Ecco una trama della funzione
Ed ecco una trama della funzione compresi gli aerei
