Sia G un gruppo e H G.Prova che l'unico coseno destro di H in G che è una sottorete di G è H stesso.?

Risposta:

Supponendo che la domanda (come chiarito dai commenti) è:

Permettere # G # essere un gruppo e #H leq G #. Dimostra che l'unico cosetto giusto di # H # nel # G # questo è un sottogruppo di # G # è # H # si.

Spiegazione:

Permettere # G # essere un gruppo e #H leq G #. Per un elemento #g in G #, il giusto cosetto di # H # nel # G # è definito come:

# => Hg = {hg: h in H} #

Supponiamo che #Hg leq G #. Quindi l'elemento identità #e in Hg #. Tuttavia, lo sappiamo necessariamente #e in H #.

Da # H # è un coset retto e due coseti retti devono essere identici o disgiunti, possiamo concludere #H = Hg #

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Nel caso questo non sia chiaro, proviamo una prova eliminando i simboli.

Permettere # G # sii un gruppo e lascia # H # essere un sottogruppo di # G #. Per un elemento # G # appartenente a # G #, chiama # # Hg il giusto cosetto di # H # nel # G #.

Supponiamo che il coset giusto # # Hg è un sottogruppo di # G #. Quindi l'elemento identità # E # appartiene a # # Hg. Tuttavia, sappiamo già che l'elemento identità # E # appartiene a # H #.

Due coseti di destra devono essere identici o disgiunti. Da # H # è un cosè giusto, # # Hg è un coset corretto, ed entrambi contengono # E #, non possono essere disgiunti. Quindi, # H # e # # Hg deve essere identico, o #H = Hg #