Come posso risolvere 2sinx = cos (x / 3)?

Risposta:

Le nostre soluzioni approssimate sono:

# x = {163.058 ^ circ, 703.058 ^ circ, 29.5149 ^ circ, 569.51 ^ circ, -192.573 ^ circ, o -732.573 ^ circ} + 1080 ^ circ k quad #

per intero #K#.

Spiegazione:

# 2 sin x = cos (x / 3) #

Questo è piuttosto difficile.

Iniziamo impostando # Y = x / 3 # così # x = 3y # e sostituendo. Quindi possiamo usare la formula dell'angolo triplo:

# 2 sin (3y) = cos y #

# 2 (3 sin y - 4 sin ^ 3 y) = cos y #

Parliamo quindi scriviamo tutto in termini di # sin ^ 2 y #. Questo probabilmente introdurrà radici estranee.

# 4 sin ^ 2y (3 - 4 sin ^ 2y) ^ 2 = cos ^ 2 y = 1 - sin ^ 2 y #

Permettere # s = sin ^ 2 y #. I somi quadrati sono chiamati si diffonde in Rational Trigonometry.

# 4 s (3 - 4s) ^ 2 = 1 - s #

# 4 s (9 - 24 s + 16 s ^ 2) = 1 - s #

# 64 s ^ 3 - 96 s ^ 2 + 37 s - 1 = 0 #

Questa è un'equazione cubica con tre radici reali, candidati per i seni quadrati di # 3x. # Potremmo utilizzare la formula cubica, ma ciò porterà solo ad alcune radici cubiche di numeri complessi che non sono particolarmente utili. Prendiamo solo una soluzione numerica:

# s 0.66035 o s 0.029196 o s 0.81045 #

#x = 3y = 3 arcsin (pm sqrt {s}) #

Lavoriamo in gradi. Le nostre potenziali soluzioni approssimative sono:

# x = 3 arcsin (pm sqrt {0.66035}) approx pm 163.058 ^ circ o pm 703.058 ^ circ #

# x = 3 arcsin (pm sqrt {0.029196}) circa pm 29.5149 ^ circ o pm 569.51 ^ circ #

# x = 3 arcsin (pm sqrt {0.81045}) circa pm 192.573 ^ circ o pm 732.573 ^ circ #

Vediamo se qualcuno di questi lavori. Permettere #e (x) = 2 sin x - cos (x / 3) #

#e (163.058 ^ circ) ca. 0,00001 quad # questa è una soluzione.

#e (-163.058 ^ circ) circa -1.17 quad # non una soluzione.

Chiaramente al massimo uno di a # Pm # la coppia funzionerà.

Altri dieci da fare.

#e (703.058 ^ circ) circa 0,00001 quad sqrt #

#e (-703.058 ^ circ) quad # no

#e (29.5149 ^ circ) circa 10 ^ {- 6} quad sqrt #

#e (-29.5149 ^ circ) quad # no

#e (569,51 ^ circ) circa 10 ^ {- 4} quad sqrt #

#e (-569,51 ^ circ) quad # no

#e (192.573 ^ circ) circa -.87 quad # no

#e (-192.573 ^ circ) circa 0,00001 quad sqrt #

#e (732.573 ^ circ) circa -.87 quad # no

#e (-732.573 ^ circ) circa 0,00001 quad sqrt #

L'arcoseno viene fornito con a # + 360 ^ circ k #e il fattore tre lo rende # 1080 ^ circ k. #

OK, le nostre soluzioni approssimative sono:

# x = {163.058 ^ circ, 703.058 ^ circ, 29.5149 ^ circ, 569.51 ^ circ, -192.573 ^ circ, -732.573 ^ circ} + 1080 ^ circ k quad # per intero #K#.