Risposta:
#int x ^ 2 / sqrt (4-9x ^ 2) dx = -1 / 18xsqrt (4-9x ^ 2) -2 / 27cos ^ (- 1) ((3x) / 2) + c #
Spiegazione:
Per questo problema ha senso # 4-9x ^ 2> = 0 #, così # -2/3 <= x <= 2/3 #. Quindi possiamo scegliere a # 0 <= u <= pi # così # X = 2 / 3cosu #. Usando questo, possiamo sostituire la variabile x nell'integrale usando # Dx = -2 / 3sinudu #: #int x ^ 2 / sqrt (4-9x ^ 2) dx = -4 / 27intcos ^ 2u / (sqrt (1-cos ^ 2u)) sinudu = -4 / 27intcos ^ 2udu # qui lo usiamo # 1-cos ^ 2U = sin ^ 2u # e quello per # 0 <= u <= pi # #sinu> = 0 #.
Ora utilizziamo l'integrazione per parti per trovare # intcos ^ 2udu = intcosudsinu = sinucosu-intsinudcosu = sinucosu + intsin ^ 2U = sinucosu + intdu-intcos ^ 2udu = sinucosu + u + c-intcos ^ 2udu #. Perciò # intcos ^ 2udu = 1/2 (sinucosu + u + c) #.
Quindi abbiamo trovato #int x ^ 2 / sqrt (4-9x ^ 2) dx = -2 / 27 (sinucosu + u + c) #, ora sostituiamo #X# indietro per # U #, usando # U = cos ^ (- 1) ((3x) / 2) #, così #int x ^ 2 / sqrt (4-9x ^ 2) dx = -1 / 9xsin (cos ^ (- 1) ((3x) / 2)) - 2 / 27cos ^ (- 1) ((3x) / 2) + C #.
Possiamo semplificare ulteriormente questo usando la definizione di seni e coseni in termini di triangoli. Per un triangolo rettangolo con un angolo # U # in uno degli angoli non a destra, # sinu = "lato opposto" / "lato più lungo" #, mentre # cosu = "lato adiacente" / "lato più lungo" #, poiché lo sappiamo # COSU = (3x) / 2 #, possiamo scegliere il lato adiacente da essere # # 3x e il lato più lungo da essere #2#. Usando il teorema di Pitagora, troviamo il lato opposto di essere #sqrt (4-9x ^ 2) #, così #sin (cos ^ (- 1) ((3x) / 2)) = Sinu = 1 / 2sqrt (4-9x ^ 2) #. Perciò #int x ^ 2 / sqrt (4-9x ^ 2) dx = -1 / 18xsqrt (4-9x ^ 2) -2 / 27cos ^ (- 1) ((3x) / 2) + c #.
