Perché è utile completare il quadrato? + Esempio

Risposta:

Semplificare le espressioni quadratiche in modo che diventino risolvibili con radici quadrate.

Spiegazione:

Completare il quadrato è un esempio di trasformazione di Tschirnhaus - l'uso di una sostituzione (anche se implicitamente) al fine di ridurre un'equazione polinomiale a una forma più semplice.

Così dato:

# ax ^ 2 + bx + c = 0 "" # con #a! = 0 #

potremmo scrivere:

# 0 = 4a (ax ^ 2 + bx + c) #

#color (bianco) (0) = 4a ^ 2x ^ 2 + 4abx + 4ac #

#color (bianco) (0) = (2ax) ^ 2 + 2 (2ax) b + b ^ 2- (b ^ 2-4ac) #

#color (bianco) (0) = (2ax + b) ^ 2- (sqrt (b ^ 2-4ac)) ^ 2 #

#color (bianco) (0) = ((2ax + b) -sqrt (b ^ 2-4ac)) ((2ax + b) + sqrt (b ^ 2-4ac)) #

#color (bianco) (0) = (2ax + b-sqrt (b ^ 2-4ac)) (2ax + b + sqrt (b ^ 2-4ac)) #

Quindi:

# 2ax = -b + -sqrt (b ^ 2-4ac) #

Così:

#x = (-b + -sqrt (b ^ 2-4ac)) / (2a) #

Quindi, dopo aver iniziato con un'equazione quadratica nella forma:

# ax ^ 2 + bx + c = 0 #

l'abbiamo preso in una forma # t ^ 2-k ^ 2 = 0 # con #t = (2ax + b) # e # K = sqrt (b ^ 2-4ac) #, eliminando il termine lineare lasciando solo termini quadrati.

Finché siamo felici di calcolare le radici quadrate, ora possiamo risolvere qualsiasi equazione quadratica.

Completare il quadrato è anche utile per ottenere l'equazione di un cerchio, un'ellisse o un'altra sezione conica in forma standard.

Ad esempio, dato:

# x ^ 2 + y ^ 2-4x + 6y-12 = 0 #

completando il quadrato troviamo:

# (x-2) ^ 2 + (y + 3) ^ 2 = 5 ^ 2 #

permettendoci di identificare questa equazione come quella di un cerchio con centro #(2, -3)# e raggio #5#.