Risposta:
# "Non esiste una fattorizzazione semplice qui. Solo un metodo generale" #
# "per risolvere un'equazione cubica può aiutarci qui." #
Spiegazione:
# "Potremmo applicare un metodo basato sulla sostituzione di Vieta." #
# "Dividendo per il primo coefficiente:" #
# x ^ 3 + 2 x ^ 2 - (13/2) x + 3 = 0 #
# "Sostituendo" x = y + p "in" x ^ 3 + ax ^ 2 + bx + c "produce:" #
# y ^ 3 + (3p + a) y ^ 2 + (3p ^ 2 + 2ap + b) y + p ^ 3 + ap ^ 2 + bp + c = 0 #
# "se prendiamo" 3p + a = 0 "o" p = -a / 3 ", il primo coefficiente" # # "diventa zero e otteniamo:" #
# => y ^ 3 - (47/6) y + (214/27) = 0 #
# "(con" p = -2/3 ")" #
# "Sostituendo" y = qz "in" y ^ 3 + b y + c = 0 ", produce:" #
# z ^ 3 + b z / q ^ 2 + c / q ^ 3 = 0 #
# "se prendiamo" q = sqrt (| b | / 3) ", il coefficiente di z diventa" #
# "3 o -3, e otteniamo:" #
# "(qui" q = 1.61589329 ")" #
# => z ^ 3 - 3 z + 1.87850338 = 0 #
# "Sostituendo" z = t + 1 / t ", produce:" #
# => t ^ 3 + 1 / t ^ 3 + 1.87850338 = 0 #
# "Sostituendo" u = t ^ 3 ", produce l'equazione quadratica:" #
# => u ^ 2 + 1.87850338 u + 1 = 0 #
# "Le radici dell'equazione quadratica sono complesse." #
# "Questo significa che abbiamo 3 vere radici nella nostra equazione cubica." #
# "Una radice di questa equazione quadratica è" #
# u = -0,93925169 + 0,34322917 i #
# "Sostituendo le variabili, restituisce:" #
#t = root3 (u) = 1.0 * (cos (-0.93041329) + i sin (-0.93041329)) #
# = 0.59750263 - 0.80186695 i. #
# => z = 1.19500526 + i 0.0. #
# => y = 1.93100097 + i 0.0. #
# => x = 1.26433430 #
# "Le altre radici possono essere trovate dividendo e risolvendo il" # # "equazione quadratica rimanente." #
# "Le altre radici sono reali: -3.87643981 e 0.61210551." #
Risposta:
# 2x ^ 3 + 4x ^ 2-13x + 6 = 2 (x-x_0) (x-x_1) (x-x_2) #
dove:
#x_n = 1/6 (-4 + 2sqrt (94) cos (1/3 cos ^ (- 1) (- 214/2209 sqrt (94)) + (2npi) / 3)) #
Spiegazione:
Dato:
# 2x ^ 3 + 4x ^ 2-13x + 6 #
Nota che questo fattore è molto più semplice se c'è un errore di battitura nella domanda.
Per esempio:
# 2x ^ 3 + 4x ^ 2-colore (rosso) (12) x + 6 = 2 (x-1) (x ^ 2 + 3x-6) = … #
# 2x ^ 3 + 4x ^ 2-13x + colore (rosso) (7) = (x-1) (2x ^ 2 + 6x-7) = … #
Se il cubo è corretto nel modulo dato, possiamo trovare i suoi zeri e fattori come segue:
#f (x) = 2x ^ 3 + 4x ^ 2-13x + 6 #
Trasformazione di Tschirnhaus
Per rendere il compito di risolvere il cubico più semplice, rendiamo il cubico più semplice usando una sostituzione lineare nota come trasformazione di Tschirnhaus.
# 0 = 108F (x) = 216x ^ 3 + 432x ^ 2-1404x + 648 #
# = (6x + 4) ^ 3-282 (6x + 4) + 1712 #
# = T ^ 3-282t + 1712 #
dove # T = (6x + 4) #
Sostituzione trigonometrica
Da #f (x) # ha #3# zeri reali, il metodo di Cardano e simili si tradurranno in espressioni che coinvolgono radici cubiche irriducibili di numeri complessi. La mia preferenza in tali circostanze è di usare invece una sostituzione trigonometrica.
Mettere:
#t = k cos theta #
dove #k = sqrt (4/3 * 282) = 2sqrt (94) #
Poi:
# 0 = t ^ 3-282t + 1712 #
#color (bianco) (0) = k ^ 3 cos ^ 3 theta - 282k cos theta + 1712 #
#color (bianco) (0) = 94k (4 cos ^ 3 theta - 3 cos theta) + 1712 #
#color (bianco) (0) = 94k cos 3 theta + 1712 #
Così:
#cos 3 theta = -1712 / (94 k) = -1712 / (188 sqrt (94)) = - (1712sqrt (94)) / (188 * 94) = -214/2209 sqrt (94) #
Così:
# 3 theta = + -cos ^ (- 1) (- 214/2209 sqrt (94)) + 2npi #
Così:
#theta = + - 1 / 3cos ^ (- 1) (- 214/2209 sqrt (94)) + (2npi) / 3 #
Così:
#cos theta = cos (1/3 cos ^ (- 1) (- 214/2209 sqrt (94)) + (2npi) / 3) #
Quali dati #3# zeri distinti del cubico in # T #:
#t_n = k cos theta = 2sqrt (94) cos (1/3 cos ^ (- 1) (- 214/2209 sqrt (94)) + (2npi) / 3) "" # per #n = 0, 1, 2 #
Poi:
#x = 1/6 (t-4) #
Quindi i tre zeri del cubico dato sono:
#x_n = 1/6 (-4 + 2sqrt (94) cos (1/3 cos ^ (- 1) (- 214/2209 sqrt (94)) + (2npi) / 3)) #
con valori approssimativi:
# x_0 ~~ 1.2643 #
# x_1 ~~ -3,8764 #
# x_2 ~~ 0.61211 #
