L'ipotenusa di un triangolo rettangolo è di 39 pollici e la lunghezza di una gamba è di 6 pollici più lunga del doppio dell'altra gamba. Come trovi la lunghezza di ogni gamba?

Risposta:

Le gambe sono lunghe #15# e #36#

Spiegazione:

Metodo 1: triangoli familiari

I primi triangoli rettangoli ad angolo con un lato di lunghezza dispari sono:

#3, 4, 5#

#5, 12, 13#

#7, 24, 25#

Notare che #39 = 3 * 13#, così funzionerà un triangolo con i seguenti lati:

#15, 36, 39#

cioè #3# volte più grande di a #5, 12, 13# triangolo?

Due volte #15# è #30#, inoltre #6# è #36# - Sì.

#colore bianco)()#

Metodo 2 - Formula di Pitagora e un po 'di algebra

Se la gamba più piccola è di lunghezza #X#, quindi la gamba più grande è di lunghezza # 2x + 6 # e l'ipotenusa è:

# 39 = sqrt (x ^ 2 + (2x + 6) ^ 2) #

#color (bianco) (39) = sqrt (5x ^ 2 + 24x + 36) #

Piazza entrambe le estremità per ottenere:

# 1521 = 5x ^ 2 + 24x + 36 #

Sottrarre #1521# da entrambi i lati per ottenere:

# 0 = 5x ^ 2 + 24x-1485 #

Moltiplicare entrambi i lati per #5# ottenere:

# 0 = 25x ^ 2 + 120x-7425 #

#color (bianco) (0) = (5x + 12) ^ 2-144-7425 #

#color (bianco) (0) = (5x + 12) ^ 2-7569 #

#color (bianco) (0) = (5x + 12) ^ 2-87 ^ 2 #

#color (bianco) (0) = ((5x + 12) -87) ((5x + 12) +87) #

#color (bianco) (0) = (5x-75) (5x + 99) #

#color (bianco) (0) = 5 (x-15) (5x + 99) #

Quindi #x = 15 # o # x = -99 / 5 #

Scarta la soluzione negativa poiché stiamo cercando la lunghezza del lato di un triangolo.

Quindi la gamba più piccola è di lunghezza #15# e l'altro è #2*15+6 = 36#

Una gamba di un triangolo rettangolo è 8 millimetri più corta della gamba più lunga e l'ipotenusa è 8 millimetri più lunga della gamba più lunga. Come trovi le lunghezze del triangolo?

24 mm, 32 mm e 40 mm Chiama x la gamba corta Chiama y la gamba lunga Chiama h l'ipotenusa Otteniamo queste equazioni x = y - 8 h = y + 8. Applica il teorema di Pitagora: h ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2 (y + 8) ^ 2 = y ^ 2 + (y - 8) ^ 2 Sviluppo: y ^ 2 + 16y + 64 = y ^ 2 + y ^ 2 - 16y + 64 y ^ 2 - 32y = 0 y (y - 32) = 0 -> y = 32 mm x = 32 - 8 = 24 mm h = 32 + 8 = 40 mm Controllo: (40) ^ 2 = (24) ^ 2 + (32) ^ 2. OK.

Una gamba di un triangolo rettangolo è 96 pollici. Come trovi l'ipotenusa e l'altra gamba se la lunghezza dell'ipotenusa supera 2,5 volte l'altra gamba di 4 pollici?

Usa Pythagoras per stabilire x = 40 e h = 104 Sia x l'altra gamba quindi l'ipotenusa h = 5 / 2x +4 E ci viene detto la prima gamba y = 96 Possiamo usare l'equazione di Pitagora x ^ 2 + y ^ 2 = h ^ 2 x ^ 2 + 96 ^ 2 = (5 / 2x + 4) ^ 2 x ^ 2 + 9216 = 25x ^ 2/4 + 20x +16 Il riordino ci dà x ^ 2 - 25x ^ 2/4 - 20x +9200 = 0 Moltiplichi per tutto -4 21x ^ 2 + 80x -36800 = 0 Usando la formula quadratica x = (-b + -sqrt (b ^ 2 - 4ac)) / (2a) x = (- (80) + - sqrt (6400 + 3091200)) / (- 42) x = (-80 + -1760) / 42 so x = 40 o x = -1840/42 Possiamo ignorare la risposta negativa mentre ci occupiamo di un triangolo reale

Una gamba di un triangolo rettangolo è 96 pollici. Come trovi l'ipotenusa e l'altra gamba se la lunghezza dell'ipotenusa supera 2 volte l'altra gamba di 4 pollici?

Ipotenusa 180,5, gambe 96 e 88,25 ca. Sia la gamba conosciuta sia c_0, l'ipotenusa essere h, l'eccesso di h sopra 2c come delta e la gamba sconosciuta, c. Sappiamo che c ^ 2 + c_0 ^ 2 = h ^ 2 (Pytagora) anche h-2c = delta. Sottotitolando secondo h otteniamo: c ^ 2 + c_0 ^ 2 = (2c + delta) ^ 2. Semplificando, c ^ 2 + 4delta c + delta ^ 2-c_0 ^ 2 = 0. Risolvendo per c otteniamo. c = (-4delta pm sqrt (16delta ^ 2-4 (delta ^ 2-c_0 ^ 2))) / 2 Sono permesse solo soluzioni positive c = (2sqrt (4delta ^ 2-delta ^ 2 + c_0 ^ 2) -4delta ) / 2 = sqrt (3delta ^ 2 + C_0 ^ 2) -2delta