Domanda n. 27939

Risposta:

Come ha sottolineato Sudip Sinha # -1 + sqrt3i # NON è uno zero. (Ho dimenticato di controllare quello.) Gli altri zero sono # 1-sqrt3 i # e #1#.

Spiegazione:

Poiché tutti i coefficienti sono numeri reali, gli zeri immaginari devono essere presenti in coppie coniugate.

Perciò, # 1-sqrt3 i # è uno zero.

Se # C # è uno zero allora # Z-C # è un fattore, quindi possiamo moltiplicare

# (z- (1 + sqrt3 i)) (z- (1-sqrt3 i)) # ottenere # Z ^ 2-2z + 4 #

e poi dividere #P (z) # da quel quadratico.

Ma è più rapido considerare il possibile zero razionale # P # primo. Oppure aggiungi i coefficienti per vederlo #1# è anche uno zero.

Risposta:

#1# e # 1 - sqrt3 i #

Spiegazione:

C'è un errore nella tua domanda. La radice dovrebbe essere # 1 + sqrt3 i #. Puoi verificarlo inserendo il valore nell'espressione. Se è una radice, l'espressione deve essere valutata a zero.

L'espressione ha tutti i coefficienti reali, quindi dal Teorema delle radici del coniugato complesso (http://en.wikipedia.org/wiki/Complex_conjugate_root_theorem), abbiamo che l'altra radice complessa è # 1 - sqrt3 i #, Chiaramente, la terza radice (per esempio #un#) deve essere reale, poiché non può avere un coniugato complesso; altrimenti ci saranno 4 radici, che non è possibile per un'equazione di terzo grado.

Nota

# (z - (1 - sqrt3 i)) (z - (1 + sqrt3 i)) #

# = ((z - 1) + sqrt3 i) ((z - 1) - sqrt3 i) #

# = ((z - 1) ^ 2 - (sqrt3 i) ^ 2) # (Da # (z + a) (z - a) = z ^ 2 - a ^ 2 #.)

# = z ^ 2 - 2z + 1 - 3 (-1) #

# = z ^ 2 - 2z + 4 #

Cercheremo di ottenere questo fattore nell'espressione.

Possiamo scrivere:

# P (z) = z ^ 3 - 3z ^ 2 + 6z - 4 #

# = z (z ^ 2 - 2z + 4) - 1 (z ^ 2 - 2z + 4) #

# = (z - 1) (z ^ 2 - 2z + 4) #

# = (z - 1) (z - (1 - sqrt3 i)) (z - (1 + sqrt3 i)) #

Risposta:

Come introduzione, penso che la radice dovrebbe essere #color (blu) (1 + sqrt3) # e non #color (red) (- 1 + sqrt3) #

Su questa base la mia risposta è:

#z in {1, "" 1 + sqrt3, "" 1-sqrt3} #

Spiegazione:

Usando l'idea di complessi coniugati e un altro trucchi fantastici.

#P (z) # è un polinomio di grado #3#. Ciò implica che dovrebbe avere solo #3# radici.

Un fatto interessante sulle radici complesse è che non si verificano mai da soli. Si verificano sempre in coppie coniugate.

Quindi se # 1 + isqrt3 # è una radice, quindi il suo coniugato: # 1-isqrt3 # sicuramente anche una radice!

E poiché è rimasta solo un'altra radice, possiamo chiamare quella radice # Z = a #.

Non è un numero complesso perché le radici complesse si verificano sempre in coppia.

E poiché questo è l'ultimo del #3# radici, non possono esserci altre coppie dopo la prima!

Alla fine i fattori di #P (z) # sono stati facilmente trovati # z- (1 + isqrt3) "," z- (1-isqrt3) "e" (z-a) #

NB: Si noti che la differenza tra una radice e un fattore è che:

- Una radice potrebbe essere # Z = 1 + i #

Ma il fattore corrispondente sarebbe # Z- (1 + i) #

Il secondo trucco è che, per factoring #P (z) # dovremmo ottenere qualcosa di simile a questo:

#P (z) = z- (1 + isqrt3) z- (1-isqrt3) (z-a) #

Quindi, espandere le parentesi graffe, #P (z) = z ^ 2-z (1 + isqrt3 + 1-isqrt3) + (1 + isqrt3) (1-isqrt3) (z-a) #

# = z ^ 2-z (2) + (1 + 3) (z-a) #

# = z ^ 2-2z + 4 (z-a) #

# = Z ^ 3 + z ^ 2 (-a-2) + z (2a + 4) -4A #

Successivamente, lo identifichiamo al polinomio originale #P (z) = z ^ 3-3z ^ 2 + 6z-4 #

# => Z ^ 3 + z ^ 2 (-a + 2) + z (-2a + 4) = z ^ -4A 3-3z ^ 2 + 6z-4 #

Poiché i due polinomi sono identici, noi equipariamo i coefficienti di # Z ^ 3 #, # Z ^ 2 #, # Z ^ 1 #e # Z ^ 0 #(il termine costante) su entrambi i lati,

In realtà, dobbiamo solo scegliere un'equazione e risolverla #un#

Paragonando i termini costanti, # => - 4a = -4 #

# => A = 1 #

Quindi l'ultima radice è #color (blu) (z = 1) #